Question

Как решить? Log x (x+2)>=1

Answer 1

Тут два решения. 1) основание больше 1
                            2)основание больше 0, но меньше 1
1) Сначала ОДЗ х+2 больше 0⇒ х больше -2
 log(x+2) ≥ logx  ⇒ х+2 ≥ х (в ответе  надо написать х больше 1)
       осн-я х
2) ОДЗ   х больше -2
 log(x+2) ≥ logx ⇒ x+2 ≤ x ( нет решений)
        осн-я х

Answer 2

Для решения неравенства \( \log(x(x+2)) \geq 1 \) следует выполнить несколько шагов. Важно помнить, что логарифм с основанием больше 1 (в данном случае, натуральный логарифм) увеличивает свой аргумент. Таким образом, мы можем использовать это свойство для решения данного неравенства.

Шаг 1: Преобразование неравенства

Первым шагом давайте избавимся от логарифма, экспонентируя обе стороны неравенства. То есть, мы применим экспоненциальную функцию \( e^x \) к обеим сторонам:

\( e^{\log(x(x+2))} \geq e^1 \)

\( x(x+2) \geq e \)

Шаг 2: Упрощение неравенства

Теперь у нас есть \( x(x+2) \geq e \), и мы можем упростить это неравенство, раскрыв скобки:

\( x^2 + 2x \geq e \)

Шаг 3: Перенос всех членов на одну сторону неравенства:

\( x^2 + 2x - e \geq 0 \)

Теперь мы имеем квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c \geq 0 \), где \( a = 1 \), \( b = 2 \), и \( c = -e \).

Шаг 4: Нахождение корней квадратного уравнения

Чтобы найти корни квадратного уравнения \( x^2 + 2x - e = 0 \), можно использовать квадратное уравнение:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае:

\( a = 1 \) \( b = 2 \) \( c = -e \)

Подставим значения в формулу:

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-e)}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4e}}{2} \]

Теперь у нас есть два корня:

\[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{4 + 4e}}{2} \] \[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{4 + 4e}}{2} \]

Шаг 5: Определение знаков многочлена

Для определения интервалов, на которых выполняется неравенство, нужно определить знаки многочлена \( x^2 + 2x - e \) на различных интервалах. Для этого рассмотрим значения \( x \), меньшие \( x_2 \), между \( x_2 \) и \( x_1 \), и большие \( x_1 \).

1. Рассмотрим интервал \( x < x_2 \): - Если \( x < x_2 \), то \( x - x_2 < 0 \), и \( (x - x_2)(x - x_1) < 0 \) (произведение двух отрицательных чисел положительно). - Значит, на этом интервале \( x^2 + 2x - e < 0 \).

2. Рассмотрим интервал \( x_2 < x < x_1 \): - Если \( x_2 < x < x_1 \), то \( x - x_2 > 0 \) и \( x - x_1 < 0 \), следовательно, \( (x - x_2)(x - x_1) > 0 \) (произведение положительного и отрицательного числа отрицательно). - Значит, на этом интервале \( x^2 + 2x - e > 0 \).

3. Рассмотрим интервал \( x > x_1 \): - Если \( x > x_1 \), то \( x - x_2 > 0 \), и \( (x - x_2)(x - x_1) > 0 \) (произведение двух положительных чисел положительно). - Значит, на этом интервале \( x^2 + 2x - e > 0 \).

Шаг 6: Определение интервалов удовлетворения неравенству

Теперь, используя результаты из предыдущего шага, определим интервалы, на которых неравенство \( x^2 + 2x - e \geq 0 \) выполняется:

- Неравенство выполняется на интервалах \( x < x_2 \) и \( x > x_1 \).

- Неравенство не выполняется на интервале \( x_2 < x < x_1 \).

Итак, решение неравенства \( \log(x(x+2)) \geq 1 \) заключается в интервалах, где \( x \) меньше \( x_2 \) или больше \( x_1 \).