Question

Известно, что вероятность опоздания ежедневного поезда на станцию равна 0,2. Какова вероятность того, что в течение 200 дней поезд опоздает на станцию: а) 50 раз; б) от 100 до 150 раз?

Answer 1

Рассмотрим задачу таким образом:

 

1. Если вероятность опоздания ежедневного поезда на станцию равна 0.2 (или 20%)

2. Значит вероятность того, что поезд придёт вовремя равна 1 - 0.2 = 0.8     (или 80%)

    Почему отнимаем 0.2 от единицы? Если сложить обе вероятности: того, что поезд

    придёт вовремя и опоздает, то вместе это 1 (или 100%).

 

Поэтому, чтобы вычислить вероятность того, что поезд опоздает 50 раз, следует вычислить вначале вероятность, что из 200 дней он не опоздает 200 - 50 = 150 раз

 

По формуле Бернулли:

 

$\binom {n} {k}p^kq^{n-k} = \binom {200} {150}0.8^{150}0.2^{50}=\frac{200!}{150!*(50!)}*0.8^{150} * 0.2^{50} \approx 0.0149$

 

Вычисляем вероятность того, что поезд опоздает 50 раз:

 

1 - 0.0149 = 0.9851 или 98.51%

 

Часть б попробуйте решить сами по аналогии.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (200 дней), каждое из которых является независимым и имеет одинаковую вероятность успеха (поезд опоздает на станцию с вероятностью 0,2).

Формула для биномиального распределения:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

Где: - \( P(X = k) \) - вероятность того, что событие произойдет \( k \) раз, - \( n \) - количество испытаний, - \( k \) - количество успехов, - \( p \) - вероятность успеха в одном испытании (вероятность опоздания поезда), - \( (1 - p) \) - вероятность неуспеха в одном испытании.

а) Вероятность того, что поезд опоздает на станцию 50 раз за 200 дней:

\[ P(X = 50) = \binom{200}{50} \cdot (0,2)^{50} \cdot (1 - 0,2)^{200 - 50} \]

Это можно вычислить численно.

б) Вероятность того, что поезд опоздает на станцию от 100 до 150 раз за 200 дней:

\[ P(100 \leq X \leq 150) = P(X \leq 150) - P(X < 100) \]

Чтобы найти это, можно вычислить вероятность опоздания не более 150 раз и вычесть вероятность опоздания менее 100 раз.

\[ P(X \leq 150) = \sum_{k=0}^{150} \binom{200}{k} \cdot (0,2)^k \cdot (1 - 0,2)^{200 - k} \]

\[ P(X < 100) = \sum_{k=0}^{99} \binom{200}{k} \cdot (0,2)^k \cdot (1 - 0,2)^{200 - k} \]

Затем вычислите разницу между этими двумя значениями, чтобы найти вероятность от 100 до 150 раз.

Эти вычисления можно произвести с помощью программного кода (например, Python) или специализированных инструментов для работы с биномиальным распределением.