Question

Помогите решить дифференциальные уравнения! Пожалуйста. 1) y``+2y`=sin x 2) y`+y/2x=x^2 y(1)= 1

Answer 1

1) y '' + 2y ' = sin x
Просто, потому что по шаблону.
Характеристическое уравнение
k^2 + 2k = 0; k1 = 0; k2 = -2
Решение однородного уравнения:
y0 = C1*e^(0x) + C2*e^(-2x) = C1 + C2*e^(-2x)
Решение неоднородного уравнения
y* = A*sin x + B*cos x
y* ' = A*cos x - B*sin x
y* '' = -A*sin x - B*cos x
Подставляем в наше уравнение
-A*sin x - B*cos x + 2A*cos x - 2B*sin x = sin x
(-A - 2B)*sin x + (2A - B)*cos x = 1*sin x + 0*cos x
Система
{ -A - 2B = 1
{ 2A - B = 0
Умножаем 2 уравнение на -2
{ -A - 2B = 1
{ -4A + 2B = 0
И складываем уравнения
-5A = 1; A = -1/5 = -0,2
B = 2A = -0,4
Общее решение неоднородного уравнения
y = y0 + y* = C1 + C2*e^(-2x) - 0,2sin x - 0,4cos x

2) y ' + y/(2x) = x^2
Чуть сложнее, но тоже нетрудно.
Решение однородного уравнения
y ' + y/(2x) = 0
dy/dx = -y/(2x)
dy/y = -dx/(2x)
ln y = -ln |2x| + ln C = ln |C/(2x)|
y0 = C/(2x)
Решение неоднородного уравнения
y* = Ax^3 + Bx^2 + Dx
y* ' = 3Ax^2 + 2Bx + D
Подставляем в уравнение
3Ax^2 + 2Bx + D + 3Ax^2/2 + Bx/2 + D/2 = x^2
{ 3A + 3A/2 = 1
{ 2B + B/2 = 0
{ D + D/2 = 0
A = 2/9; B = 0; D = 0
y* = 2x^2/9
y = y0 + y* = C/(2x) + 2x^2/9
Решаем задачу Коши.
y(1) = C/2 + 2/9 = 1
C/2 = 7/9
C = 14/9
Ответ: y = 7/(9x) + 2x^2/9

Answer 2

Дифференциальные уравнения (ДУ) — это уравнения, в которых присутствуют производные одной или нескольких неизвестных функций. Чтобы решить дифференциальное уравнение, нужно найти функцию, которая удовлетворяет данному уравнению.

Для начала, рассмотрим первое дифференциальное уравнение:

1) y`` + 2y` = sin(x)

Это уравнение содержит вторую производную функции y и первую производную функции y. Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать метод вариации постоянных.

Предположим, что решение имеет вид y = e^(mx), где m - постоянная. Тогда первая производная функции y будет равна y` = me^(mx), а вторая производная - y`` = m^2e^(mx). Подставим эти значения в исходное уравнение:

m^2e^(mx) + 2me^(mx) = sin(x)

Теперь мы можем сгруппировать слагаемые с экспонентами и слагаемые синуса:

e^(mx)(m^2 + 2m) = sin(x)

Так как экспонента e^(mx) не обращается в ноль, мы можем разделить обе части уравнения на e^(mx):

m^2 + 2m = sin(x) / e^(mx)

Теперь у нас есть обычное алгебраическое уравнение относительно постоянной m. Решим его:

m^2 + 2m = sin(x) / e^(mx)

m^2 + 2m - sin(x) / e^(mx) = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного корня или формулы дискриминанта. Когда мы найдем значения m, мы сможем найти функцию y, подставив эти значения в y = e^(mx).

Теперь рассмотрим второе дифференциальное уравнение:

2) y` + y/(2x) = x^2 + y(1)

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Для его решения мы можем использовать метод интегрирующего множителя.

Сначала приведем уравнение к каноническому виду:

y` + (1/(2x))y = x^2 + y(1)

Умножим обе части уравнения на интегрирующий множитель, который равен e^(∫(1/(2x))dx):

e^(∫(1/(2x))dx) * y` + (1/(2x))e^(∫(1/(2x))dx) * y = e^(∫(1/(2x))dx) * (x^2 + y(1))

Теперь мы можем просуммировать слева полученные слагаемые:

(e^(∫(1/(2x))dx) * y)` = e^(∫(1/(2x))dx) * (x^2 + y(1))

Дифференцируем обе части уравнения:

(e^(∫(1/(2x))dx) * y)` = x^2 + y(1)

Теперь мы имеем обычное дифференциальное уравнение, которое можно решить путем интегрирования обеих частей:

∫(e^(∫(1/(2x))dx) * y`)dx = ∫(x^2 + y(1))dx

После интегрирования, мы можем найти функцию y.

Я могу предоставить код на Python, который поможет вам численно решить данные дифференциальные уравнения. Хотите увидеть пример решения с помощью численных методов?