Question

Внутри прямоугольного параллелепипеда лежит шар таким образом,что он касается трёх граней,имеющих общую вершину. Найдите расстояние от центра шара до этой вершины ,если объём шара равен 34п/3 см в кубе

Answer 1

Объем шара V = 4/3 π R³  ⇒  R = ∛(34/4)
Расстояние до вершины будет равно диагонали куба со сторойной R
Диагональ куба R √3
Получаем ∛(34/4) * √3

Answer 2

Давайте разберемся с задачей. Пусть у нас есть прямоугольный параллелепипед, и внутри него лежит шар так, что он касается трех граней, имеющих общую вершину. Пусть \( O \) - центр шара, \( A \) - общая вершина трех граней, и \( O_1, O_2, O_3 \) - центры трех граней, соприкасающихся с шаром. Тогда \( OA \) - искомое расстояние.

Для начала заметим, что если провести радиусы шара, инцидентные точке касания с гранями, они будут лежать в одной плоскости в силу симметрии задачи. Таким образом, треугольник \( O_1O_2O_3 \) будет равнобедренным.

Также, поскольку шар касается трех граней, мы можем сказать, что каждый из углов треугольника \( O_1O_2O_3 \) - прямой, так как радиус, проведенный к точке касания, является перпендикуляром к грани. Значит, у треугольника \( O_1O_2O_3 \) три прямых угла.

Теперь, рассмотрим плоскость, проходящую через центр \( O \) шара и общую вершину \( A \) трех граней. Эта плоскость проходит через середины ребер прямоугольного параллелепипеда (так как она содержит центры трех граней). Таким образом, треугольник \( O_1O_2O_3 \) лежит в этой плоскости.

Теперь мы видим, что у нас есть три равнобедренных прямоугольных треугольника \( OAO_1, OAO_2, OAO_3 \). Рассмотрим, например, треугольник \( OAO_1 \). Поскольку \( O_1 \) - середина ребра прямоугольника, а \( A \) - общая вершина, то угол \( OAO_1 \) - прямой, а катеты \( OA \) и \( AO_1 \) равны по определению. Значит, треугольник \( OAO_1 \) - равнобедренный прямоугольный треугольник, и мы можем использовать теорему Пифагора:

\[ OA^2 = O_1A^2 + AO_1^2 \]

Так как \( O_1A \) - радиус шара, а \( AO_1 \) - половина длины ребра прямоугольника, мы можем выразить эти величины через радиус шара и получить:

\[ OA^2 = r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]

где \( r \) - радиус шара, \( a \) - длина ребра прямоугольника.

Теперь, у нас есть выражение для квадрата расстояния от центра шара до общей вершины трех граней. Вам нужно взять квадратный корень от этого выражения, чтобы получить искомое расстояние:

\[ OA = \sqrt{r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

Так как объем шара равен \( \frac{4}{3}\pi r^3 \), а объем прямоугольного параллелепипеда равен \( a^3 \), у нас есть связь между радиусом \( r \) и длиной ребра \( a \):

\[ \frac{4}{3}\pi r^3 = a^3 \]

Вы можете решить это уравнение относительно \( r \), затем подставить полученное значение \( r \) в формулу для \( OA \) и вычислить результат.