Question

Помогите,пожалуйста. Объясните,а то не понимаю= Найдите область определения функции : √3х+7/(знак дроби) 2х^2( 2 х в квадрате) + х - 3

Answer 1

{3x+7≥0⇒3x≥-7⇒x≥-2 1/3
{2x²+x-3≠0
D=1+24=25
x1≠(-1-5)/4≠-1,5
x2≠(-1+5)/4≠1
x∈[-2 1/3;-1,5) U (-1,5;1) U (1;∞)

Answer 2

Для того чтобы найти область определения функции, нужно определить значения переменной, при которых функция остается определенной, то есть не приводит к делению на ноль или извлечению корня из отрицательного числа.

У вас дана функция:

\[ f(x) = \frac{\sqrt{3x + 7}}{2x^2 + 2x^2 + x - 3} \]

Область определения будет состоять из тех значений \( x \), при которых знаменатель не обращается в ноль и подкоренное выражение в числителе не становится отрицательным.

1. Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому решаем уравнение: \[ 2x^2 + 2x^2 + x - 3 \neq 0 \]

2. Подкоренное выражение в числителе (\(3x + 7\)) должно быть неотрицательным: \[ 3x + 7 \geq 0 \]

Решим эти неравенства.

1. Решение уравнения в знаменателе:

\[ 2x^2 + 2x^2 + x - 3 \neq 0 \]

Сначала упростим выражение:

\[ 4x^2 + x - 3 \neq 0 \]

Теперь можем попытаться разложить его на множители, но это не всегда возможно. В данном случае воспользуемся квадратным уравнением:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \( a = 4, b = 1, c = -3 \).

\[ D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 \]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня. Решим квадратное уравнение:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{8} \]

Таким образом, у нас есть два корня: \( x_1 = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \) и \( x_2 = \frac{-1 - 7}{8} = -\frac{8}{8} = -1 \).

Следовательно, область определения функции для знаменателя - это все значения \( x \), кроме \( x = \frac{3}{4} \) и \( x = -1 \).

2. Решение неравенства в числителе:

\[ 3x + 7 \geq 0 \]

Вычитаем 7 из обеих сторон:

\[ 3x \geq -7 \]

Делим на 3, обратив знак неравенства:

\[ x \leq -\frac{7}{3} \]

Таким образом, область определения для числителя - это все значения \( x \), меньшие или равные \(-\frac{7}{3}\).

Теперь объединим обе области определения. Общая область определения для функции - это все значения \( x \), кроме \( x = \frac{3}{4} \) и \( x = -1 \), и при этом \( x \leq -\frac{7}{3} \).