Question

Sin(в квадрате)x+cos(в квадрате)x-tg2x=0 Решить уравнение

Answer 1

Sin²x+cos²x-tg2x=0
1-tg2x=0
tg2x=1
2x=π/4+k.π
x=π/8+k.π/2, k∈Z

Answer 2

Давайте разберемся с уравнением \(\sin^2(x) \cdot \cos^2(x) - \tan^2(2x) = 0\). Для решения этого уравнения, мы можем воспользоваться несколькими тригонометрическими тождествами.

Начнем с тождества \(\tan^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{1 + \cos(4x)}\). Подставим это тождество в исходное уравнение:

\[\sin^2(x) \cdot \cos^2(x) - \frac{1 - \cos(4x)}{1 + \cos(4x)} = 0.\]

Для удобства умножим обе стороны уравнения на \((1 + \cos(4x))\), чтобы избавиться от дроби:

\[(\sin^2(x) \cdot \cos^2(x) - 1 + \cos(4x))(1 + \cos(4x)) = 0.\]

Раскроем скобки:

\[\sin^2(x) \cdot \cos^2(x) \cdot (1 + \cos(4x)) - (1 + \cos(4x)) + \cos(4x) + \cos^2(4x) = 0.\]

Теперь объединим похожие члены:

\[\sin^2(x) \cdot \cos^2(x) \cdot (1 + \cos(4x)) - 1 + \cos(4x) + \cos^2(4x) = 0.\]

Теперь рассмотрим каждый член отдельно:

1. \(\sin^2(x) \cdot \cos^2(x)\) не может быть равно нулю, так как произведение двух ненулевых чисел не равно нулю. 2. \((1 + \cos(4x))\) также не может быть равно нулю, так как \(\cos(4x)\) ограничен от -1 до 1, поэтому \(1 + \cos(4x)\) всегда положительно. 3. \(-1\) не может быть равно нулю. 4. \(\cos(4x)\) и \(\cos^2(4x)\) также не могут быть равными нулю.

Таким образом, уравнение может быть равным нулю только в том случае, если каждый член равен нулю. Таким образом, у нас есть система уравнений:

\[\sin^2(x) \cdot \cos^2(x) = 0,\] \[1 + \cos(4x) = 0,\] \[-1 = 0,\] \[\cos(4x) = 0,\] \[\cos^2(4x) = 0.\]

Анализируя каждое из этих уравнений, мы приходим к выводу, что:

1. \(\sin^2(x) \cdot \cos^2(x) = 0 \implies \sin(x) = 0\) или \(\cos(x) = 0\). 2. \(1 + \cos(4x) = 0 \implies \cos(4x) = -1\). 3. Это уравнение не имеет решений. 4. \(\cos(4x) = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) для целых \(k\). 5. \(\cos^2(4x) = 0 \implies \cos(4x) = 0\) (это уже учтено в пункте 4).

Таким образом, у нас есть два случая:

1. \(\sin(x) = 0\) или \(\cos(x) = 0\). 2. \(4x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) для целых \(k\).

Решениями уравнения будут все значения \(x\), которые удовлетворяют любому из этих условий.