Question

Найти производную функции F(x)=1+x^2/1-x^2 И F"(x). С подробным решением

Answer 1

Вот, все видно на фотографии, если что не понятно пиши

Answer 2

Давайте найдем производную функции \( F(x) = \frac{1 + x^2}{1 - x^2} \) с помощью правила дифференцирования частного и цепного правила.

1. Находим производную \( F(x) \):

Исходная функция:

\[ F(x) = \frac{1 + x^2}{1 - x^2} \]

Для нахождения производной частного используем формулу:

\[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

где \( u = 1 + x^2 \) и \( v = 1 - x^2 \).

Находим производные:

\[ u' = 2x \] \[ v' = -2x \]

Подставляем значения в формулу:

\[ F'(x) = \frac{(2x)(1 - x^2) - (1 + x^2)(-2x)}{(1 - x^2)^2} \]

Упрощаем выражение:

\[ F'(x) = \frac{2x - 2x^3 + 2x + 2x^3}{(1 - x^2)^2} \]

\[ F'(x) = \frac{4x}{(1 - x^2)^2} \]

2. Находим вторую производную \( F''(x) \):

Теперь нужно найти производную от \( F'(x) \). Используем те же правила.

Имеем:

\[ F'(x) = \frac{4x}{(1 - x^2)^2} \]

Для нахождения производной \( F''(x) \) применяем правило дифференцирования частного и цепное правило.

Первоначально выражаем числитель и знаменатель:

Числитель:

\[ u' = 4 \]

Знаменатель:

\[ v' = (1 - x^2)^2 \]

Теперь применяем правило:

\[ F''(x) = \frac{(u'v - uv')}{v^2} \]

Подставляем значения:

\[ F''(x) = \frac{(4)(1 - x^2)^2 - 4x(2(1 - x^2)(-2x))}{(1 - x^2)^4} \]

Упрощаем выражение:

\[ F''(x) = \frac{4(1 - x^2)^2 + 16x^2(1 - x^2)}{(1 - x^2)^4} \]

\[ F''(x) = \frac{4(1 - x^2 + 4x^2 - 4x^4)}{(1 - x^2)^4} \]

\[ F''(x) = \frac{4 - 4x^2 + 16x^2 - 16x^4}{(1 - x^2)^4} \]

\[ F''(x) = \frac{-12x^2 - 16x^4 + 4}{(1 - x^2)^4} \]

Таким образом, получена вторая производная \( F''(x) \):

\[ F''(x) = \frac{-12x^2 - 16x^4 + 4}{(1 - x^2)^4} \]