Question

2cos²x+5cosx-3=0 помогите пожалуйста решить уравнение!!!

Answer 1

Пусть cosx=y, тогда получим квадратное уравнение: 2у^2+5у-3=0 находим дискриминант: Д=5^2-4*2*(-3)=25+24=49 у1=(-5+√49)/(2*2)=(-5+7)/4=2/4=1/2 у2=(-5-√49)/(2*2)=(-5-7)/4=-12/4=-3 Возвращаемся к замене, получим 2 уравнения: 1)cosx=-3 решений не имеет. так как значение cosx лежит в промежутке [-1;1] 2)cosx=1/2 x=±arccos(1/2)+2πn, где n принадлежит Z x=±π/3 +2πn, где n принадлежит Z

Answer 2

Конечно, давайте решим это уравнение вместе. Уравнение \(2\cos^2(x) + 5\cos(x) - 3 = 0\) представляет собой квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\).

Для решения этого уравнения мы можем ввести замену, чтобы упростить его. Пусть \(y = \cos(x)\), тогда уравнение примет вид:

\[2y^2 + 5y - 3 = 0\]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта или методом факторизации. Давайте найдем корни этого уравнения.

Дискриминант квадратного уравнения \(ay^2 + by + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае \(a = 2\), \(b = 5\), и \(c = -3\):

\[D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)\] \[D = 25 + 24\] \[D = 49\]

Дискриминант равен \(49\), что больше нуля, значит, у нас есть два действительных корня.

Теперь найдем сами корни. Формула для корней квадратного уравнения: \(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\[y = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2}\] \[y = \frac{-5 \pm 7}{4}\]

Таким образом, получаем два возможных значения \(y\):

1. \(y_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) 2. \(y_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3\)

Теперь, когда у нас есть значения \(y\), мы можем найти соответствующие значения \(\cos(x)\):

1. \(y_1 = \frac{1}{2}\): \(\cos(x) = \frac{1}{2}\) 2. \(y_2 = -3\): Но так как \(\cos(x)\) ограничено от -1 до 1, это значение недопустимо.

Таким образом, у нас есть одно решение: \(\cos(x) = \frac{1}{2}\). Это происходит при определенных значениях угла \(x\). Вспомните, что \(\cos(x) = \frac{1}{2}\) имеет несколько угловых значений в пределах периода тригонометрической функции. Главные значения для косинуса равны \(60^\circ\) и \(300^\circ\) (или \(\frac{\pi}{3}\) и \(\frac{5\pi}{3}\) в радианах). Но также помните, что косинус имеет периодичность, поэтому можно добавить к этим углам любой кратный период \(360^\circ\) (или \(2\pi\) в радианах), чтобы получить все возможные решения.

Таким образом, общее решение для \(\cos(x) = \frac{1}{2}\) будет:

\[x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi,\]

где \(n\) - целое число.

Надеюсь, это поможет вам решить уравнение!