Question

Даны точки М(1; 3), N(7; 5), К(5; -1). Найдите координаты векторов МN, NК, МK, и их модули. Установите вид треугольника МNК.

Answer 1

Каждая координата вектора определяется разностью соответствующих координат его конца и начала
$\vec{AB}= (x_B-x_A;y_B-y_A)$
$\vec {MN}=(7-1;5-3)=(6;2) \\\ \vec {NK}=(5-7;-1-5)=(-2;-6) \\\ \vec {MK}=(5-1;-1-3)=(4;-4)$

Модуль вектора определяется как квадратный корень из суммы квадратов его координат
$\vec{AB}= \sqrt{x^2+y^2}$
$|\vec {MN}|= \sqrt{6^2+2^2} = \sqrt{40} =2 \sqrt{10} \\\ |\vec {NK}|= \sqrt{(-2)^2+(-6)^2}= \sqrt{40}=2 \sqrt{10} \\\ |\vec {MK}|= \sqrt{4^2+(-4)^2}= \sqrt{32} =4 \sqrt{2}$

Так как длины двух сторон треугольника равны, то есть он равнобедренный, то в любом случае углы при его основании будут острыми. Найдем угол, противолежащий основанию, и по его величине определим вид треугольника
$\cos \alpha = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{ \sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}}$
Находить угол N будем как угол между двумя векторами: NK (известен) и NM (противоположный вектору MN, следовательно имеющий противоположные координаты)
$\cos N= \frac{(-6)\cdot(-2)-2\cdot(-6)}{ \sqrt{(-6)^2+(-2)^2}\cdot \sqrt{(-2)^2+(-6)^2}} = \frac{24}{ 40} >0$
Так как косинус угла положителен, то сам угол острый. Значит в треугольнике все три угла острых и поэтому он является остроугольным

Answer 2

Координаты векторов MN, NK, MK и их модули

Для нахождения координат векторов MN, NK и MK, мы можем использовать формулу для вычисления разности координат двух точек:

Для вектора MN: MN = N - M = (7 - 1, 5 - 3) = (6, 2)

Для вектора NK: NK = K - N = (5 - 7, -1 - 5) = (-2, -6)

Для вектора MK: MK = K - M = (5 - 1, -1 - 3) = (4, -4)

Теперь, чтобы найти модули этих векторов, мы можем использовать формулу для вычисления длины вектора:

Модуль вектора MN: |MN| = √(6^2 + 2^2) = √(36 + 4) = √40 = 2√10

Модуль вектора NK: |NK| = √((-2)^2 + (-6)^2) = √(4 + 36) = √40 = 2√10

Модуль вектора MK: |MK| = √(4^2 + (-4)^2) = √(16 + 16) = √32 = 4√2

Вид треугольника МНК

Чтобы определить вид треугольника МНК, мы можем рассмотреть длины его сторон.

У нас есть следующие длины сторон:

MN = 2√10 NK = 2√10 MK = 4√2

Так как все три стороны имеют одинаковые длины, треугольник МНК является равносторонним треугольником.