Question

Даны точки A(3;-1), B(-7;6), C(-3;2), M1(-3;-1); M2(-7;-3). 1) Составить уравнения прямых AB, BC и AC; 2) Составить уравнение прямой, проходящей через C || AB; 3) Определить взаимное расположение M1M2 и AB, AC, BC; 4) Составить уравнение прямой, содержащей высоту CH; 5) Найти координаты точки H; 6) Написать уравнение медианы AM.

Answer 1

ДАНО - координаты вершин треугольника.
А(3;-1), В(-7;6), С(-3;2).
РЕШЕНИЕ треугольника.
Построение рисунка к задаче на координатной плоскости - в приложении.
1. Уравнения сторон - прямые Y = k*x+b.
Расчет для прямой АВ.
k = ΔY/ΔX = (By-Ay)/(Bx-By)= - 7/10
b = By - k*Bx = 11/10 = 1.1
Уравнение прямой АВ - Y = -0.7*x + 1.1- ОТВЕТ
Уравнение прямой АС -  Y= - 0.5*x + 0.5 - ОТВЕТ
Уравнение прямой ВС - Y = -x -1 - ОТВЕТ
2. Прямая параллельно АВ через точку С.
Коэффициенты наклона прямых равны.
k₂ = k₁ = - 0.7
b₂ = Cy - k₂*Cx = 2 - (-0.7)*(-3) = 2- 2.1= - 0.1
Уравнение СК - Y= - 0.7*x - 0.1 - ОТВЕТ
3. Точки М₁ и М₂ к сторонам треугольник  никакого отношения не имеют. 
4. Уравнение перпендикулярной (высоты) прямой СН к стороне АВ.
Коэффициент наклона и обратен и противоположен прямой в основании.
k2 = - k1 = - 1/(-0.7) = 10/7 = 1 3/7
Расчет сдвига - b - для точки С.
b = Cy - k2*Cx = 6 2/7
Уравнение высоты СН - Y = 10/7*x + 6 2/7 - ОТВЕТ
5. Координаты точки пересечения прямых - АВ и СН.
Преобразуем уравнения прямых из канонического вида к параметрическому виду..
Уравнение прямой АВ -  Y = - 7/10 *x + 11/10 или
1)  7*x + 10*y = 11.
Уравнение прямой СН - Y =  10/7*x + 44/7 или
2)  - 10*x + 7*y = 44 
Решаем систему уравнений 1) и 2), например методом Крамера и получаем
Hx = - 2 3/7 Hy = 2 4/5
Координаты точки Н(-2 3/7; 2 4/5) - ОТВЕТ
6) Координаты середины отрезка (медианы АМ - к стороне ВС) .
Середина отрезка ВС -  точка М.
Мх = Bx - (Bx-Cx)/2 = -7 - (-7-(-3))/2 = -7+2 = -5
My = By - (By-Cy)/2 = 4 
координаты точки М(-5;4) - промежуточный результат
Уравнение медианы - прямой АМ -  по п. 1)
Уравнение АМ - Y = -5/8*x + 7/8 - ОТВЕТ

Answer 2

1) Уравнения прямых AB, BC и AC:

Уравнение прямой задается в общем виде уравнением прямой: y = mx + c, где m - коэффициент наклона прямой, а c - свободный член.

a) Уравнение прямой AB: Для того чтобы найти уравнение прямой AB, нужно найти коэффициент наклона m и свободный член c. Коэффициент наклона можно найти по формуле: m = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек прямой.

Точки A(3, -1) и B(-7, 6), поэтому: m = (6 - (-1)) / (-7 - 3) = 7 / (-10) = -0.7

Теперь, чтобы найти свободный член c, подставим координаты одной из точек в уравнение прямой: -1 = -0.7 * 3 + c c = -1 + 2.1 = 1.1

Таким образом, уравнение прямой AB: y = -0.7x + 1.1

b) Уравнение прямой BC: Аналогично, найдем коэффициент наклона и свободный член для прямой BC. Точки B(-7, 6) и C(-3, 2), поэтому: m = (2 - 6) / (-3 - (-7)) = -4 / 4 = -1

Теперь найдем свободный член c: 6 = -1 * (-7) + c c = 6 + 7 = 13

Уравнение прямой BC: y = -x + 13

c) Уравнение прямой AC: Найдем коэффициент наклона и свободный член для прямой AC. Точки A(3, -1) и C(-3, 2), поэтому: m = (2 - (-1)) / (-3 - 3) = 3 / (-6) = -0.5

Теперь найдем свободный член c: -1 = -0.5 * 3 + c c = -1 + 1.5 = 0.5

Уравнение прямой AC: y = -0.5x + 0.5

2) Уравнение прямой, проходящей через C || AB:

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку C параллельно прямой AB, нам нужно использовать свойство параллельных прямых: они имеют одинаковый коэффициент наклона.

У прямой AB коэффициент наклона m = -0.7, поэтому у прямой, проходящей через C, должен быть такой же коэффициент наклона.

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через C и параллельной AB: y = -0.7x + c

Чтобы найти свободный член c, подставим координаты точки C(-3, 2) в уравнение: 2 = -0.7 * (-3) + c c = 2 + 2.1 = 4.1

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через C параллельно AB: y = -0.7x + 4.1

3) Взаимное расположение M1M2 и AB, AC, BC:

Чтобы определить взаимное расположение, нужно рассмотреть взаимные положения прямых.

a) Взаимное расположение M1M2 и AB: Для определения взаимного расположения прямых, сравним их коэффициенты наклона.

У прямой AB коэффициент наклона m = -0.7, а у прямой M1M2 коэффициент наклона m = (-3 - (-1)) / (-7 - (-3)) = -2 / -4 = 0.5.

Так как коэффициенты наклона не равны, прямые AB и M1M2 не параллельны и не совпадают.

b) Взаимное расположение M1M2 и AC: У прямой AC коэффициент наклона m = -0.5. Коэффициент наклона прямой M1M2 m = (-3 - (-1)) / (-7 - (-7)) = -2 / 0, что является неопределенным значением.

Таким образом, прямые M1M2 и AC не параллельны и не совпадают.

c) Взаимное расположение M1M2 и BC: У прямой BC коэффициент наклона m = -1. Коэффициент наклона прямой M1M2 m = (-3 - (-3)) / (-7 - (-7)) = 0 / 0, что является неопределенным значением.

Таким образом, прямые M1M2 и BC не параллельны и не совпадают.

4) Уравнение прямой, содержащей высоту CH:

Чтобы найти уравнение прямой, содержащей высоту CH, нужно знать координаты точки H.

5) Координаты точки H:

Для нахождения координат точки H, нужно найти пересечение медиан треугольника ABC.

6) Уравнение медианы AM:

Чтобы найти уравнение медианы AM, нужно знать координаты точки H.