Question

Вычислите пределы: а) lim корень из (1+1/2n); б) lim ( корень из (n+2)-корень из (n-2) ); в) lim корень n (корень из (n+1) - корень из (n-1) ).

Answer 1

0000000000000000000000000000000000000

Answer 2

Вычисление пределов:

а) $lim \sqrt{1 + \frac{1}{2n}}$

Для вычисления этого предела, мы можем использовать алгебраические методы пределов. В данном случае, у нас есть корень, поэтому мы можем использовать метод рационализации. Давайте попробуем это.

Умножим и разделим выражение на $\sqrt{1 + \frac{1}{2n}}$:

$lim \sqrt{1 + \frac{1}{2n}} = lim \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{2n}}}{1}$

Теперь применим правило умножения пределов:

$lim \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{2n}}}{1} = lim \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{2n}} - 1}{\frac{1}{2n}} \cdot \frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}$

После упрощения получаем:

$lim \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{2n}} - 1}{\frac{1}{2n}} \cdot \frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}} = lim \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{2n}} - 1}{\frac{1}{2n}} \cdot 2n$

Теперь воспользуемся формулой разности квадратов:

$\sqrt{1 + \frac{1}{2n}} - 1 = \frac{1 + \frac{1}{2n} - 1}{\sqrt{1 + \frac{1}{2n}} + 1} = \frac{\frac{1}{2n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{2n}} + 1}$

Подставим это значение обратно в предел:

$lim \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{2n}} - 1}{\frac{1}{2n}} \cdot 2n = lim \frac{\frac{\frac{1}{2n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{2n}} + 1}}{\frac{1}{2n}} \cdot 2n = lim \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{2n}} + 1} \cdot 2n$

Теперь вычислим предел при $n$ стремящемся к бесконечности:

$lim \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{2n}} + 1} \cdot 2n = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} \cdot 2 \cdot \infty = \frac{1}{2 + 1} \cdot 2 \cdot \infty = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \infty = \frac{2}{3} \cdot \infty = \infty$

Таким образом, предел данного выражения равен бесконечности.

б) $lim (\sqrt{n+2} - \sqrt{n-2})$

Для вычисления этого предела, мы можем использовать разность квадратов. Давайте попробуем это.

Умножим и разделим выражение на $\sqrt{n+2} + \sqrt{n-2}$:

$lim (\sqrt{n+2} - \sqrt{n-2}) = lim \frac{(\sqrt{n+2} - \sqrt{n-2})(\sqrt{n+2} + \sqrt{n-2})}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n-2}}$

Теперь воспользуемся формулой разности квадратов:

$(\sqrt{n+2} - \sqrt{n-2})(\sqrt{n+2} + \sqrt{n-2}) = (n+2) - (n-2) = n + 2 - n + 2 = 4$

Подставим это значение обратно в предел:

$lim \frac{(\sqrt{n+2} - \sqrt{n-2})(\sqrt{n+2} + \sqrt{n-2})}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n-2}} = lim \frac{4}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n-2}}$

Теперь вычислим предел при $n$ стремящемся к бесконечности:

$lim \frac{4}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n-2}} = \frac{4}{\sqrt{\infty+2} + \sqrt{\infty-2}} = \frac{4}{\infty + \infty} = \frac{4}{2\infty} = \frac{2}{\infty} = 0$

Таким образом, предел данного выражения равен 0.

в) $lim \sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1})$

Для вычисления этого предела, мы можем использовать разность квадратов. Давайте попробуем это.

Умножим и разделим выражение на $\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}$:

$lim \sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1}) = lim \frac{\sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}}$

Теперь воспользуемся формулой разности квадратов:

$(\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}) = (n+1) - (n-1) = n + 1 - n + 1 = 2$

Подставим это значение обратно в предел:

$lim \frac{\sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}} = lim \frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}}$

Теперь вычислим предел при $n$ стремящемся к бесконечности:

$lim \frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}} = \frac{2\sqrt{\infty}}{\sqrt{\infty+1} + \sqrt{\infty-1}} = \frac{2\infty}{\infty + \infty} = \frac{2\infty}{2\infty} = 1$

Таким образом, предел данного выражения равен 1.

Итак, мы вычислили пределы следующим образом: а) $lim \sqrt{1 + \frac{1}{2n}} = \infty$ б) $lim (\sqrt{n+2} - \sqrt{n-2}) = 0$ в) $lim \sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1}) = 1