Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ! С ПОЛНЫЙ РЕШЕНИЕМ!!! РЕШЕНИЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО!!! Некоторое натуральное число N, большее 215, но меньшее 225, и сложил все натуральные числа от 1 до N. Он обнаружил, что полученная сумма делится на некоторое простое число p, однако ни одно слагаемое на p не делится. Чему равно N?

Answer 1

Найдем данную в условии сумму  натуральных чисел от 1 до N:
S(1+2+ ... + N) = (1+ N)*N/2
По условию S/p = a, где а целое число натурального ряда, р - простое число( по условию); тогда:    S =  а*р      ⇒    
(1+N)*N/2 = а*р  или  (N+1)*N = 2а*р
Исходя из условия р∉ {1;2;...;N}: так как ни одно слагаемое из суммы натуральных чисел от 1 до N, включая N, не делится на р, то
р = N+1, ⇒ N = р -1
По условию 215 < N < 225, тогда  215 < p -1 < 225   ⇒
216 < p < 226
В этом числовом промежутке только одно простое число 223, значит, р = 223
тогда              N = p -1 = 223 -1 = 222
Ответ:N = 222
Проверка:
S = (1+222)*222/2 = 223 * 222/2 = 24753;    24753 : р = 24753 : 223 = 111;
ни одно число ряда 1; 2; ...; 222 не делится нацело на 223

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

Пусть \(N\) - это натуральное число, которое больше 215, но меньше 225. Мы хотим найти такое значение \(N\), что сумма всех натуральных чисел от 1 до \(N\) делится на простое число \(p\), при этом ни одно из слагаемых не делится на \(p\).

Для начала, найдем сумму всех натуральных чисел от 1 до \(N\). Это можно сделать с использованием формулы суммы арифметической прогрессии:

\[ S = \frac{N \cdot (N + 1)}{2} \]

Теперь, давайте рассмотрим все числа от 2 до \(\sqrt{N}\) (включительно), потому что если \(N\) делится на какое-то число больше \(\sqrt{N}\), то оно также делится и на какое-то число меньше \(\sqrt{N}\).

Пусть \(p\) - простое число, на которое делится сумма, и \(p\) также делит \(S\). Заметим, что \(p\) не может делиться на \(N\) (потому что ни одно слагаемое на \(p\) не делится). Таким образом, \(p\) делится на сумму всех чисел от 1 до \(N-1\).

Итак, у нас есть следующая система условий:

1. \(S = \frac{N \cdot (N + 1)}{2}\) делится на \(p\). 2. \(S - N\) делится на \(p\).

Мы знаем, что \(S\) делится на \(p\), так что разница между \(S\) и \(S - N\) также делится на \(p\). Это означает, что \(N\) делится на \(p\).

Теперь, так как \(N\) не может делиться на \(p\) (по условию задачи), мы приходим к противоречию. Таким образом, не существует такого простого числа \(p\), на которое делится сумма всех натуральных чисел от 1 до \(N\), при этом ни одно слагаемое не делится на \(p\).

Таким образом, задача не имеет решения.