Question

СРОЧНО!!!!!! ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЬ ЗАДАЧИ ПО СПЕЦ -- МАТЕМАТИКЕ!!!!!!!! 1. К числу приписали все цифры от 1 до 9 ( в случайные места). Оказалось, что полученное число делится на 9. Доказать, что исходное тоже делится на 9. 2. Петя написал число. Вася поменял в нём цифры местами и полученное число приписал в конец Петиного числа. Полученное число делится на 3. Докажите, что что число Пети тоже делится на 3. 3. Число возвели в квадрат. У полученного числа посчитали сумму цифр и получили 152. Может ли такое быть?

Answer 1

1. Признак делимости на 9 звучит так: число делится на 9 ⇔ сумма цифр этого числа делится на 9. Сумма цифр от 1 до 9 равна 45 (а 45 делится на 9), значит дописанные цифры ничего не меняют в смысле делимости на 9.

2. Пусть сумма цифр петиного числа равна n, тогда сумма цифр совместного петиного-васиного числа равна 2n. Поскольку полученное число делится на 3,значит 2n делится на 3, а тогда и n делится 3. Значит, петино число делится на 3.

3. Все целые числа делятся на три части - те, которые делятся на три, которые на 1 больше числа, делящегося на три, и которые на 1 меньше числа, делящегося на три. Число первого типа имеет вид 3n, в квадрате получается 9n^2 - оно делится на 3 (даже на 9), но по условию сумма цифр должна была получиться 152, а 152 не делится на 9 (даже на 3 не делится). Поэтому наше число не относится к первому типу. Числа второго и третьего типа имеют вид соответственно 3n+1 и 3n-1; в квадрате получаем 9n^2+6n+1 и 9n^2-6n+1 соответственно, то есть и в том, и в том случае получается число, на 1 большее числа, делящегося на 3. Однако по условию у полученного числа сумма цифр должна быть 152=3·51-1 - на 1 меньше, а не больше, числа делящегося на 3. Поэтому такого быть не может.

Замечание.Обычно в школе проходят признак делимости на 3, но известно ли Вам, что число имеет вид 3n+1 (соответственно 3n-1) тогда и только тогда, когда сумма цифр имеет вид 3k+1 (соответственно 3k-1), я не знаю.
Но такая теорема верна. Будем считать ее известной.

Answer 2

Задача 1: Доказательство, что число, полученное делением числа, полученного перестановкой цифр, также делится на 9.

Дано: - Число, в котором все цифры от 1 до 9 приписаны в случайные места. - Полученное число делится на 9.

Нам нужно доказать, что исходное число также делится на 9.

Доказательство:

Представим исходное число в виде суммы произведений цифр на соответствующие степени 10. Назовем это число "N".

N = a1 * 10^8 + a2 * 10^7 + a3 * 10^6 + a4 * 10^5 + a5 * 10^4 + a6 * 10^3 + a7 * 10^2 + a8 * 10^1 + a9 * 10^0

Здесь ai - цифры числа в исходном порядке.

Для того чтобы число N было кратно 9, сумма цифр этого числа также должна быть кратна 9.

Сумма цифр числа N: S = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9

Поскольку число N делится на 9, сумма его цифр также должна быть кратна 9. Допустим, сумма S не делится на 9:

S = 9k + r, где k - целое число, r - остаток от деления.

Тогда число N можно представить следующим образом:

N = (a1 * 10^8 + a2 * 10^7 + a3 * 10^6 + a4 * 10^5 + a5 * 10^4 + a6 * 10^3 + a7 * 10^2 + a8 * 10^1 + a9 * 10^0) = (9k + r)

Рассмотрим число M, полученное перестановкой цифр числа N. Число M также будет делиться на 9.

M = a9 * 10^8 + a8 * 10^7 + a7 * 10^6 + a6 * 10^5 + a5 * 10^4 + a4 * 10^3 + a3 * 10^2 + a2 * 10^1 + a1 * 10^0

Теперь сложим числа N и M:

(N + M) = (9k + r) + (a9 * 10^8 + a8 * 10^7 + a7 * 10^6 + a6 * 10^5 + a5 * 10^4 + a4 * 10^3 + a3 * 10^2 + a2 * 10^1 + a1 * 10^0)

Мы видим, что сумма цифр числа N + M равна сумме цифр числа N + сумме цифр числа M:

S' = (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9) + (a9 + a8 + a7 + a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1) = 2S

Если S не делится на 9, то S' тоже не будет делиться на 9.

Однако, по условию, число M получено перестановкой цифр числа N, а значит, сумма цифр числа M также должна быть кратна 9. Это противоречит предположению, что S не делится на 9.

Следовательно, мы приходим к выводу, что исходное число N также должно делиться на 9.

Задача 2: Доказательство, что число, полученное перестановкой цифр и приписыванием в конец, также делится на 3.

Дано: - Число, написанное Петей. - Полученное число, полученное перестановкой цифр и приписыванием его в конец числа Пети, делится на 3.

Нам нужно доказать, что исходное число Пети также делится на 3.

Доказательство:

Рассмотрим число N, полученное перестановкой цифр и приписыванием его в конец числа Пети.

N = P * 10^k + M

Где P - число Пети, M - число, полученное перестановкой цифр, k - количество цифр в числе M.

Поскольку число N делится на 3, число P * 10^k также должно делиться на 3.

Рассмотрим три возможных случая: 1. P делится на 3, а k не делится на 3. 2. P не делится на 3, а k делится на 3. 3. P не делится на 3, и k не делится на 3.

Для каждого из этих случаев:

1. Если P делится на 3, то P * 10^k также будет делиться на 3. Тогда M должно делиться на 3, чтобы N = P * 10^k + M также делилось на 3. Это противоречит условию, что M получено перестановкой цифр. Следовательно, этот случай невозможен. 2. Если P не делится на 3, но k делится на 3, то P * 10^k также не будет делиться на 3. Это противоречит условию, что N = P * 10^k + M делится на 3. Следовательно, этот случай невозможен. 3. Если P не делится на 3 и k не делится на 3, то P * 10^k также не будет делиться на 3. Это противоречит условию, что N = P * 10^k + M делится на 3. Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, мы приходим к выводу, что исходное число Пети P также должно делиться на 3.

Задача 3: Доказательство, что число, полученное возведением в квадрат и подсчетом суммы цифр, не может быть равным 152.

Дано: - Число, возведенное в квадрат. - Сумма цифр этого числа равна 152.

Нам нужно показать, что такое число не может существовать.

Доказательство:

Предположим, что такое число существует. Обозначим его как N.

N^2 - число, возведенное в квадрат. S - сумма цифр числа N^2.

N^2 = a1 * 10^m + a2 * 10^(m-1) + ... + ak * 10^0

Где ai - цифры числа N^2, m - количество цифр.

Сумма цифр числа N^2: S = a1 + a2 + ... + ak

По условию задачи, S = 152.

Поскольку N^2 - квадрат числа N, его сумма цифр S также должна быть кратна 9.

Однако, 152 не является кратным 9, поэтому такое число N не может существовать.

Таким образом, мы приходим к выводу, что число, возведенное в квадрат, и сумма цифр которого равна 152, не может существовать.

Надеюсь, это поможет вам в решении ваших задач по специальной математике! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.