Question

Коля нарисовал несколько отрезков на листе бумаги, причем каждый отрезок пересекает ровно 5 других отрезков, никакие три отрезка не пересекаются в одной точке. Сколько отрезков мог Нарисовать Коля?

Answer 1

Нарисуй 3 параллельные прямые(они никогда не пересекутся. А сверху них нарисуй печатную букву А,но перемычку сделай немного под наклоном, чтобы она не была параллельна тем первым трем линиям . Получится 6 отрезков. И они удовлетворяют условиям задачи!

Answer 2

Пусть Коля нарисовал n отрезков.

Каждый отрезок пересекает ровно 5 других отрезков. Значит, каждый отрезок имеет 5 точек пересечения с другими отрезками.

При этом, никакие три отрезка не пересекаются в одной точке. Это означает, что каждая точка пересечения отрезков является уникальной и не может быть общей для более чем двух отрезков.

Таким образом, каждый отрезок имеет 5 точек пересечения с другими отрезками, а каждая точка пересечения принадлежит двум отрезкам.

Теперь рассмотрим, сколько всего точек пересечения может быть при n отрезках.

Каждый отрезок имеет 5 точек пересечения, значит, у нас будет 5n точек пересечения. Однако, каждая точка пересечения принадлежит двум отрезкам, поэтому сумма степеней вершин графа точек пересечения равна 2 * 5n.

Сумма степеней вершин графа равна удвоенному числу ребер графа. Так как каждый отрезок пересекает 5 других отрезков, то у нас будет 5n ребер графа.

Итак, 2 * 5n = 5n. Получаем, что 10n = 5n.

Делим обе части равенства на n и получаем 10 = 5.

Это противоречие, так как 10 не равно 5.

Значит, невозможно нарисовать отрезки таким образом, чтобы каждый отрезок пересекал ровно 5 других отрезков, и никакие три отрезка не пересекались в одной точке.