Question

В правильной четырехугольной пирамиде высота 5 см и боковое ребро 13 см. найдите объём пирамиды.

Answer 1

V=1/3 Sосн*h
Sосн=1/2с², где с - диагональ квадрата
по теореме Пифагора находим половину диагонали
13²-5²=144
√144=12
с=12*2=24

Sосн=1/2*24²=288 см²
V=1/3*288*5=480 см³

Answer 2

Чтобы найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, нужно использовать формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h \]

Где \( S_{\text{основания}} \) - площадь основания пирамиды, \( h \) - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь основания. Поскольку пирамида правильная четырёхугольная, её основание - квадрат.

Пусть \( a \) - длина стороны квадрата.

Так как боковое ребро пирамиды 13 см, оно является высотой треугольника, образованного боковой стороной пирамиды, одной из диагоналей основания квадрата и радиусом вписанной в этот квадрат окружности.

Для правильного квадрата диагональ \( d \) связана со стороной \( a \) следующим образом: \( d = a \times \sqrt{2} \).

Радиус вписанной окружности \( r \) связан с диагональю следующим образом: \( r = \frac{d}{2} = \frac{a \times \sqrt{2}}{2} \).

Также, площадь квадрата можно выразить через сторону \( a \): \( S_{\text{основания}} = a^2 \).

Теперь мы можем решить уравнение для нахождения стороны квадрата \( a \):

\[ 13 = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{5^2 + \left(\frac{a \times \sqrt{2}}{2}\right)^2} \] \[ 13 = \sqrt{25 + \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{25 + \frac{a^2}{2}} \] \[ 13^2 = 25 + \frac{a^2}{2} \] \[ 169 = 25 + \frac{a^2}{2} \] \[ \frac{a^2}{2} = 144 \] \[ a^2 = 288 \] \[ a = \sqrt{288} \approx 16.97 \, \text{см} \]

Теперь, когда у нас есть длина стороны основания \( a \), можем найти площадь основания:

\[ S_{\text{основания}} = a^2 \] \[ S_{\text{основания}} = (16.97)^2 \approx 287.92 \, \text{см}^2 \]

Теперь, подставим найденные значения в формулу для объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h \] \[ V = \frac{1}{3} \times 287.92 \times 5 \] \[ V = \frac{1}{3} \times 1439.6 \] \[ V \approx 479.87 \, \text{см}^3 \]

Таким образом, объём правильной четырёхугольной пирамиды равен примерно \( 479.87 \, \text{см}^3 \).