Question

Решить неопределенный интеграл: cos^6*3x dx

Answer 1

Как то так) сложноватый конечно капец)

Answer 2

Для решения данного неопределенного интеграла, мы можем использовать метод замены переменной. Давайте рассмотрим пошаговое решение:

1. Замена переменной: Пусть u = 3x, тогда мы можем выразить dx через du следующим образом: dx = du/3. Теперь наш интеграл принимает следующий вид:

∫cos^6(3x) dx = ∫cos^6(u) * (du/3)

2. Упрощение выражения: Мы можем использовать формулу связанности между cos^2(u) и sin^2(u), а также формулу бинома Ньютона, чтобы упростить наше выражение. Давайте применим эти формулы:

∫cos^6(u) * (du/3) = (1/3) ∫(cos^2(u))^3 * (du/3)

Используем формулу связанности: cos^2(u) = 1 - sin^2(u)

(1/3) ∫(1 - sin^2(u))^3 * (du/3) = (1/27) ∫(1 - 3sin^2(u) + 3sin^4(u) - sin^6(u)) * du

3. Разложение на множители: Мы можем разложить каждый член этого выражения на множители и интегрировать их по отдельности. После этого мы сможем собрать все части обратно.

(1/27) ∫(1 - 3sin^2(u) + 3sin^4(u) - sin^6(u)) * du = (1/27) ∫(1 - 3sin^2(u) + 3sin^4(u) - sin^6(u)) du

= (1/27) ∫du - (1/27) ∫3sin^2(u) du + (1/27) ∫3sin^4(u) du - (1/27) ∫sin^6(u) du

= (1/27) u - (1/27) ∫3sin^2(u) du + (1/27) ∫3sin^4(u) du - (1/27) ∫sin^6(u) du

4. Решение каждого интеграла: Мы можем решить каждый из этих интегралов по отдельности.

∫3sin^2(u) du: Мы можем использовать формулу reducio ad absurdum для решения этого интеграла. Формула гласит: ∫sin^2(u) du = (1/2) u - (1/4)sin(2u).

∫3sin^4(u) du: Мы также можем использовать формулу reducio ad absurdum для решения этого интеграла. Формула гласит: ∫sin^4(u) du = (3/8) u - (1/4)sin(2u) + (1/32)sin(4u).

∫sin^6(u) du: Этот интеграл может быть решен с использованием формулы reducio ad absurdum. Формула гласит: ∫sin^6(u) du = (5/16) u - (3/8)sin(2u) + (1/16)sin(4u) - (1/96)sin(6u).

5. Собираем все части вместе:

(1/27) u - (1/27) ∫3sin^2(u) du + (1/27) ∫3sin^4(u) du - (1/27) ∫sin^6(u) du

= (1/27) u - (1/27) * [(1/2) u - (1/4)sin(2u)] + (1/27) * [(3/8) u - (1/4)sin(2u) + (1/32)sin(4u)] - (1/27) * [(5/16) u - (3/8)sin(2u) + (1/16)sin(4u) - (1/96)sin(6u)]

6. Упрощение выражения:

(1/27) u - (1/54) u + (1/108)sin(2u) + (1/216) u - (1/108)sin(2u) + (1/864)sin(4u) - (5/432) u + (5/216)sin(2u) - (5/108)sin(4u) + (5/648)sin(6u)

7. Финальное упрощение:

(1/648) u + (1/864)sin(4u) + (5/648)sin(6u) + C

8. Заменяем обратно переменную: Вернемся к исходной переменной x, заменив u на 3x:

(1/648) (3x) + (1/864)sin(4(3x)) + (5/648)sin(6(3x)) + C

= x/216 + (1/864)sin(12x) + (5/648)sin(18x) + C

Таким образом, решение неопределенного интеграла ∫cos^6(3x) dx равно x/216 + (1/864)sin(12x) + (5/648)sin(18x) + C, где C - произвольная постоянная.