Question

Не приводя дроби к общему знаменателю,установите,какая из них наибольшая: а)10/11, 9/10, 8/9 б)11/20, 21/40, 31/60 в)23/48, 17/36, 35/72

Answer 1

а) Есть теорема: a/b < (a+1)/(b+1) при любых a > 0; b > 0; b > a

Для доказательства найдем разность через общий знаменатель:

$\frac{a+1}{b+1} -\frac{a}{b} =\frac{(a+1)b-a(b+1)}{b(b+1)} =\frac{ab+b-ab-a}{b(b+1)} =\frac{b-a}{b(b+1)} >0$

Конечная дробь больше 0, потому что числитель больше 0 (потому что b > a) и знаменатель тоже больше 0.

Если разность дробей больше 0, то первая дробь больше второй.

10/11 > 9/10 > 8/9.

Наибольшее 10/11.

б) 11/20 = 22/40 > 21/40

11/20 = 33/60 > 31/60.

Наибольшее 11/20

в) 23/48 = 24/48 - 1/48 = 1/2 - 1/48,

17/36 = 18/36 - 1/36 = 1/2 - 1/36

35/72 = 36/72 - 1/72 = 1/2 - 1/72.

Чем больше знаменатель, тем меньше дробь. 1/72 < 1/48 < 1/36

Чем меньше вычитают из числа 1/2, тем больше остается.

1/2 - 1/72 > 1/2 - 1/48 > 1/2 - 1/36

Наибольшее 35/72

Answer 2

Finding the Largest Fraction Without Finding a Common Denominator

To determine which fraction is the largest without finding a common denominator, we can compare the fractions directly.

a) 10/11, 9/10, 8/9

Comparing the fractions directly: - 10/11 > 9/10 > 8/9

b) 11/20, 21/40, 31/60

Comparing the fractions directly: - 11/20 > 21/40 > 31/60

c) 23/48, 17/36, 35/72

Comparing the fractions directly: - 23/48 > 17/36 > 35/72

Conclusion

Based on the comparisons, the largest fractions in each set are: - a) 10/11 - b) 11/20 - c) 23/48