Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+4x+1 и y=4/x

Answer 1

Решение во вложении-----------------------

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и интегрировать разность функций по переменной x в пределах этих точек.

Давайте начнем с анализа уравнений кривых. Уравнение первой кривой, y = -x^2 + 4x + 1, представляет собой параболу, а уравнение второй кривой, y = 4/x, представляет собой гиперболу.

Для начала найдем точки пересечения этих двух кривых, то есть значения x, при которых y первой кривой равно y второй кривой:

-x^2 + 4x + 1 = 4/x

Для удобства решения уравнения, домножим обе части на x:

-x^3 + 4x^2 + x - 4 = 0

После решения этого уравнения, найдем две точки пересечения кривых, которые будем обозначать x1 и x2.

Теперь мы можем найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми. Для этого мы будем интегрировать разность функций y2 - y1 по переменной x в пределах от x1 до x2:

S = ∫(y2 - y1) dx

В нашем случае, y2 - y1 = (4/x) - (-x^2 + 4x + 1).

Таким образом, площадь фигуры будет равна:

S = ∫[(4/x) - (-x^2 + 4x + 1)] dx

Для решения этого интеграла, мы должны разложить его на два отдельных интеграла:

S = ∫(4/x) dx - ∫(-x^2 + 4x + 1) dx

Первый интеграл, ∫(4/x) dx, представляет собой интеграл логарифма. Второй интеграл, ∫(-x^2 + 4x + 1) dx, представляет собой интеграл квадратичной функции.

Решение этих интегралов и вычисление площади фигуры требуют математических расчетов. Если вам нужны конкретные числовые значения или дополнительные пояснения, пожалуйста, укажите значения x1 и x2, и я помогу вам с этими расчетами.