Question

Даны точки А(-5;4), В(1;-2), С(-1;-4), D(3;2), Е и F – середины АВ и CD соответственно. Найдите острый угол между ЕF и CD. Вычислите

Answer 1

Угол EFC - 60 градусов 

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится найти координаты точек Е и F.

Сначала найдем середину отрезка AB. Формула для нахождения середины отрезка (x, y) выглядит следующим образом: x = (x₁ + x₂) / 2 y = (y₁ + y₂) / 2

Для точек A(-5, 4) и B(1, -2) получим: x = (-5 + 1) / 2 = -2 / 2 = -1 y = (4 - 2) / 2 = 2 / 2 = 1

Таким образом, координаты точки E равны (-1, 1).

Аналогично, найдем середину отрезка CD. Для точек C(-1, -4) и D(3, 2) получим: x = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1 y = (-4 + 2) / 2 = -2 / 2 = -1

Координаты точки F равны (1, -1).

Далее, чтобы найти угол между векторами EF и CD, воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (a · b) / (|a| |b|)

Где a и b - векторы, а (a · b) - скалярное произведение векторов, |a| и |b| - длины векторов.

Для вектора EF, координаты которого равны (x₁, y₁) = (-1, 1), и вектора CD, координаты которого равны (x₂, y₂) = (1, -1), получим: (a · b) = x₁ * x₂ + y₁ * y₂ = (-1) * 1 + 1 * (-1) = -1 - 1 = -2 |a| = √(x₁² + y₁²) = √((-1)² + 1²) = √(1 + 1) = √2 |b| = √(x₂² + y₂²) = √(1² + (-1)²) = √(1 + 1) = √2

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла: cos(θ) = (-2) / (√2 * √2) = -2 / 2 = -1

Таким образом, косинус угла θ равен -1. Чтобы найти угол θ, возьмем обратный косинус (-1): θ = arccos(-1)

Значение arccos(-1) равно π, поскольку косинус -1 соответствует углу 180 градусов или π радиан.