Question

Решите (2+1)(2^2+1)(2^4+1)...(2^32+1)

Answer 1

Используя формулу разности квадратов 
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

$1^n=1$
$(a^{n})^m=a^{nm}$
получим

$(2+1)*(2^2+1)*(2^4+1)*...*(2^{32}+1)=$
$\frac{(2-1)*(2+1)*(2^2+1)*(2^4+1)*...*(2^{32}+1)}{2-1}=$
$(2^2-1)*(2^2+1)*(2^4+1)*...*(2^{32}+1)=$
$(2^4-1)*(2^4+1)...*(2^{32}+1)=$
$(2^{32}-1)*(2^{32}+1)=2^{64}-1$

Answer 2

Чтобы решить это выражение, мы можем заметить, что каждый множитель представляет из себя сумму двух квадратов: (2^n + 1) = (2^n)^2 + 1.

Теперь мы можем использовать формулу разности квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b). Применяя эту формулу, мы можем разложить каждый множитель на два множителя:

(2^2 + 1) = (2^2 + 1^2) = (2^2 + 1)(2^2 - 1) = (2^4 - 1) (2^4 + 1) = (2^4 + 1^2) = (2^4 + 1)(2^4 - 1) = (2^8 - 1) (2^8 + 1) = (2^8 + 1^2) = (2^8 + 1)(2^8 - 1) = (2^16 - 1) ... (2^32 + 1) = (2^32 + 1^2) = (2^32 + 1)(2^32 - 1) = (2^64 - 1)

Таким образом, исходное выражение преобразуется в:

(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)...(2^32 + 1) = (2^2 - 1)(2^4 - 1)(2^8 - 1)...(2^64 - 1)

Заметим, что это является произведением разностей квадратов. Мы можем применить формулу разности квадратов, чтобы получить:

(2^2 - 1)(2^4 - 1)(2^8 - 1)...(2^64 - 1) = ((2^2)^2 - 1)(2^4 - 1)(2^8 - 1)...(2^64 - 1) = (2^4 - 1)(2^4 - 1)(2^8 - 1)...(2^64 - 1) = (2^8 - 1)(2^8 - 1)...(2^64 - 1) = ... = (2^64 - 1)

Таким образом, ответ на данное выражение равен (2^64 - 1).