Question

Помогите пожалуйста, буду очень благодарна!!! Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: у=16/x^2 y=17-x^2

Answer 1

Рекомендую сделать рисунок, так будет нагляднее.
Сначала найдём точки пересечения этих графиков:
16/x^2 = 17 - x^2
Обе эти функции чётные, так что эта фигура будет состоять из двух симметричных кусков слева и справа. Искать будем площадь одного, а потом удвоим её. Поэтому же рассмотрим только область с х>0.
Итак решаем уравнение. Домножаем на x^2 (корень не потеряется, потому что х=0 явно не корень этого уравнения):
16/x^2 = 17 - x^2
16 = 17 x^2 - x^4
x^4 - 17 x^2 + 16 = 0
Заменим x^2 например на t, получим:
t^2 - 17 t + 16 = 0
D = 17^2 - 4*16 = 289 - 64 = 225 = 15^2
t = (17 +- 15)/2 = {1; 16}
Значит и х соответственно принимает значения {1;4} - отрицательные пока отбросили, потому что рассматриваем только правую часть!
Значит эта фигура лежит между графиками приведённых функций на диапазоне от 1 до 4. Для нахождения площади надо найти площадь фигуры под верхним графиком и вычесть из неё площадь фигуры под нижним. Для этого используем определённые интегралы:
Для удобства сначала распишу неопределённые, обозначу их как I:
I1 = ∫(16/x^2) dx = ∫(16x⁻²) dx = -16 x⁻¹ + C
I2 = ∫(17-x^2) dx = 17x - 1/3 x^3 + C
Теперь считаем определённые для нашего интервала:
S1 = -16 4⁻¹ - (-16 1⁻¹) = -16/4 + 16 = 12
S2 = 17*4 - 1/3 *4^3 - (17*1 - 1/3 1^3) = 68 -1/3*64 - 17 + 1/3 = 51 + 1/3 (1-64) = 51 - 1/3*63 = 51 - 21 = 30
Разность площадей 30-12 = 18
Не забываем, что это только справа, и слева такой же кусочек, значит общая площадь равна 2*18 = 36.
Спрашивайте, если что непонятно.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, мы можем использовать метод интегрирования. Для начала, нам нужно найти точки пересечения этих двух линий.

Нахождение точек пересечения

Для этого, мы можем приравнять уравнения этих двух линий:

у = 16/x^2 y = 17 - x^2

Приравнивая их, получим:

16/x^2 = 17 - x^2

Умножим обе части уравнения на x^2:

16 = 17x^2 - x^4

Теперь, перенесем все члены уравнения на одну сторону:

x^4 - 17x^2 + 16 = 0

Мы получили квадратное уравнение, которое мы можем решить. Решение этого уравнения даст нам значения x, которые являются точками пересечения данных линий.

Вычисление площади

После того, как мы найдем значения x, мы можем использовать интеграл для вычисления площади фигуры, ограниченной этими линиями. Площадь такой фигуры можно выразить следующим образом:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

где f(x) и g(x) - это уравнения линий, a и b - это значения x, которые являются точками пересечения.

Итак, после того, как мы найдем значения x, мы можем подставить их в уравнения линий, чтобы получить значения y. Затем мы можем вычислить интеграл и получить площадь фигуры.

Пожалуйста, укажите значения, которые вы получили для x, чтобы я мог помочь вам дальше с вычислением площади.