Question

Найдите первообразную для функции y=6sin2x + cosx/2, которая при x=П/3 принимает значение равное нулю

Answer 1

Первообразная =
F = - 6/2 *cos(2*X) + 2*sin(X/2) +C
F(π/3) = - 3 *cos(2*π/3) +2*sin(X/6) + C
-3*(-1/2) +2*(1/2) +C =0
3/2+1 +C=0  -->  C = -5/2=- 2 1/2

F(π/3) = - 3 *cos(2*π/3) +2*sin(X/6) - 2 1/2

Answer 2

Для нахождения первообразной функции, сначала нам нужно выразить данную функцию в более удобной форме. Затем мы будем интегрировать полученное выражение.

Дано: y = 6sin^2(x) + cos(x/2)

Для начала, заметим, что sin^2(x) можно выразить через cos(2x) с помощью формулы двойного угла для синуса:

sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2

Подставим это выражение в исходную функцию:

y = 6((1 - cos(2x))/2) + cos(x/2)

y = 3(1 - cos(2x)) + cos(x/2)

Теперь, чтобы найти первообразную данной функции, мы будем интегрировать каждый член по отдельности. Для этого воспользуемся формулами интегрирования:

∫(1 - cos(2x)) dx = x - (1/2)sin(2x) + C1

∫cos(x/2) dx = 2sin(x/2) + C2

Где C1 и C2 - произвольные постоянные интегрирования.

Теперь объединим полученные результаты:

∫y dx = ∫(3(1 - cos(2x)) + cos(x/2)) dx

∫y dx = 3∫(1 - cos(2x)) dx + ∫cos(x/2) dx

∫y dx = 3(x - (1/2)sin(2x)) + 2sin(x/2) + C

Где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, первообразная для данной функции y = 6sin^2(x) + cos(x/2) будет:

F(x) = 3x - (3/2)sin(2x) + 2sin(x/2) + C

Теперь, чтобы найти значение первообразной функции при x = П/3, мы подставляем это значение в полученное выражение:

F(П/3) = 3(П/3) - (3/2)sin(2(П/3)) + 2sin((П/3)/2) + C

F(П/3) = П - (3/2)sin(2П/3) + 2sin(П/6) + C

Таким образом, значение первообразной функции при x = П/3 равно П - (3/2)sin(2П/3) + 2sin(П/6) + C.