Question

Решите неравенство: sin(3x)-4*sin(x)>0

Answer 1

Воспользуемся формулой сложения синусов:
2sin[(x + 3x)/2]cos[(x - 3x)/2] = 4cos³x
2sin2xcosx = 4cos³x
4sinxcosxcosx = 4cos³x
4sinxcos²x = 4cos³x
sinxcos²x - cos³x = 0
cos²x(sinx - cosx) = 0
1) cos²x = 0
cosx = 0
x = π/2 + πn, n ∈ Z
2) sinx - cosx = 0
sinx = cosx
tgx = 1
x = π/4 + πk, k ∈ Z
Ответ: π/2 + πn, n ∈ Z; π/4 + πk, k ∈ Z.

Answer 2

Для решения данного неравенства sin(3x) - 4*sin(x) > 0, мы можем использовать различные методы. Один из таких методов - это разложение на множители.

Давайте начнем с приведения неравенства к более простому виду, используя формулу для разности синусов:

sin(3x) - 4*sin(x) = 2*sin(x)*cos(2x) - 4*sin(x)

Заменим sin(x) на y:

2y*cos(2x) - 4y > 0

Вынесем общий множитель y за скобки:

y(2*cos(2x) - 4) > 0

Теперь у нас есть произведение двух выражений, которое должно быть больше нуля. Чтобы понять, когда это происходит, мы можем рассмотреть два случая:

Первый случай: y > 0

Если y > 0, то неравенство будет выполняться, когда выражение в скобках также будет больше нуля:

2*cos(2x) - 4 > 0

Добавим 4 к обеим сторонам:

2*cos(2x) > 4

Теперь разделим обе стороны на 2:

cos(2x) > 2

Однако, косинус не может быть больше 1, поэтому этот случай не имеет решений.

Второй случай: y < 0

Если y < 0, тогда неравенство будет выполняться, когда выражение в скобках будет меньше нуля:

2*cos(2x) - 4 < 0

Добавим 4 к обеим сторонам:

2*cos(2x) < 4

Разделим обе стороны на 2:

cos(2x) < 2

Теперь мы можем решить это неравенство. Для этого нам нужно найти значения x, для которых косинус от двойного угла меньше 2.

Однако, косинус не может быть больше 1 или меньше -1, поэтому этот случай также не имеет решений.

В итоге, данное неравенство sin(3x) - 4*sin(x) > 0 не имеет решений.