Question

В прямоугольном треугольнике катеты равны 15 см и 8 см. Найти длины отрезков, на которые вписанная в треугольник окружность делит гипотенузу точкой касания.

Answer 1

Рисуем треугольник. Катеты 8 и 15. находим по теореме Пифагора гипотенузу для выявления радиуса вписанной окружности = 8^2 + 15^2 = 289 = 17^2. r = (a +b - c)/2 = 3.

Центр вписанной окружности соединяем с вершинами, а также проводим перпендикуляры к катетам и гипотенузе. Потом видно, что два треугольника равные по общей стороне и прямому углу. Также замечаем квадрату прямого угла треугольника, а его стороны равны радиусу вписанной окружности = 3. То есть, одна сторона уже известна - 5.

Отнимаем у гипотенузы 17 - 5 = 12.

ответ: 5 и 12

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему о вписанной окружности в прямоугольный треугольник, которая гласит: "Радиус вписанной окружности треугольника равен половине периметра треугольника, поделенному на сумму катетов".

Периметр треугольника можно найти как сумму всех его сторон: периметр = 15 + 8 + гипотенуза.

Таким образом, радиус вписанной окружности будет равен (15 + 8 + гипотенуза) / 2.

Также известно, что радиус вписанной окружности проведет перпендикуляр к сторонам треугольника в точках касания. Поэтому мы можем использовать подобие треугольников для нахождения длин отрезков, на которые вписанная окружность делит гипотенузу.

По теореме о подобии треугольников, отношение длины отрезка, на который вписанная окружность делит гипотенузу, к длине гипотенузы, равно отношению радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности. Так как описанная окружность имеет радиус равный половине гипотенузы, мы можем использовать это знание для нахождения длин отрезков.

Подставляя известные значения, получим: Отрезок, на который вписанная окружность делит гипотенузу = (15 + 8 - гипотенуза) / 2.

Теперь мы можем найти длины отрезков, на которые вписанная в треугольник окружность делит гипотенузу, подставив известные значения и решив уравнение: Отрезок = (15 + 8 - гипотенуза) / 2 Отрезок = (23 - гипотенуза) / 2

Таким образом, длины отрезков, на которые вписанная в треугольник окружность делит гипотенузу, равны (23 - гипотенуза) / 2.