Question

Lинтеграл ln в квадрате xdx

Answer 1

Два раза интегрируем по частям:
S ln^2(x)dx = ln^2(x)*x - Sx d ln^2(x) = ln^2(x)*x - S x*2*ln(x)*(1/x)dx  =
= ln^2(x)*x - 2S ln(x) dx = ln^2(x)*x  - 2ln(x)*x + 2Sx d ln(x) = 
= ln^2(x)*x  - 2ln(x)*x  + 2S 1 dx =  ln^2(x)*x  - 2 ln(x)*x  +2x + c =
= x(ln^2(x) - 2ln(x) + 2) + c

Answer 2

Интеграл от ln(x) в квадрате

Интеграл ln^2(x)dx, где ln(x) обозначает натуральный логарифм x, может быть вычислен с использованием метода интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям утверждает, что для двух функций u(x) и v(x), производная произведения этих функций равна сумме произведения одной функции на производную второй и второй функции на производную первой. Формула интегрирования по частям записывается как:

∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx

где u(x) и v(x) - дифференцируемые функции, а u'(x) и v'(x) - их производные.

Решение

Давайте применим метод интегрирования по частям к интегралу ln^2(x)dx.

Пусть u(x) = ln(x) и v'(x) = ln(x). Тогда u'(x) = 1/x и v(x) = xln(x) - x.

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫ln^2(x)dx = xln(x) - x - ∫x * (1/x)dx

Упрощая последний интеграл, получим:

∫ln^2(x)dx = xln(x) - x - ∫dx

Интегрируя по dx, мы получим:

∫ln^2(x)dx = xln(x) - x - x + C

Где C - постоянная интеграции.

Таким образом, интеграл от ln^2(x)dx равен xln(x) - 2x + C, где C - постоянная интеграции.

Это означает, что интеграл от ln^2(x)dx равен xln(x) - 2x + C, где C - постоянная интеграции.