Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-2x. y=2x-3.

Answer 1

Строим график:

y=2x-3 - прямая, находим две точки:
x=0⇒y=2*0-3=-3
x=1⇒y=2-3=-1
Рисуем прямую проходящую через эти точки.

y=x²-2x - парабола, находим вершину параболы и несколько точек и т.к. коэффициент при x² положительный, то ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы: x=-b/(2a)= -(-2/(2*1))=1
                                    y=1*1-2*1=-1
Ещё пару точек: x=2⇒y=0
                             x=3⇒y=3
Рисуем графики.(график во вложении)

Площадь фигуры вычисляется по формуле:
$S=\int\limits_a^b(f(x)-g(x))dx$
Где а и b - границы икса, в которых фигура изменяется(x∈[a;b])
f(x) и g(x) - графики которыми ограничена фигура, причём график f(x) - график расположенный выше чем g(x).

Из рисунка видно откуда изменятся x: x∈[1;3]. Если из графика не будет видно, то стоит найти точки пересечения графиков, для этого нужно будет их приравнять(y=y⇒x²-2x=2x-3).
Так же из рисунка видно, что график прямой расположен выше графика параболы. Теперь нам всё известно, осталось вычислить интеграл:
$S=\int\limits_1^3(2x-3-(x^2-2x))dx=\int\limits_1^3(4x-3-x^2)dx=\\=(\frac{4x^{2}}{2}-3x-\frac{x^3}{3})|^3_1=(2x^2-3x-\frac{x^3}{3})|^3_1=\\=2*3^2-3*3-\frac{3^3}{3}-(2*1^2-3*1-\frac{1^3}{3})=\\=18-9-9-2+3+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и определить границы интегрирования. В данном случае у нас есть две кривые: y = x^2 - 2x и y = 2x - 3.

Нахождение точек пересечения

Для начала найдем точки пересечения этих двух кривых, решив их систему уравнений. Подставим одно уравнение в другое и решим полученное уравнение относительно x:

x^2 - 2x = 2x - 3

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

x^2 - 4x + 3 = 0

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью квадратного корня:

(x - 1)(x - 3) = 0

x = 1 или x = 3

Таким образом, точки пересечения находятся при x = 1 и x = 3.

Определение границ интегрирования

Теперь нам нужно определить границы интегрирования по оси x. Для этого найдем значения y для каждой из кривых при x = 1 и x = 3:

Для кривой y = x^2 - 2x: y(1) = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1 y(3) = (3)^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3

Для кривой y = 2x - 3: y(1) = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1 y(3) = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3

Таким образом, границы интегрирования по оси y для данной фигуры составляют -1 и 3.

Вычисление площади

Поскольку фигура ограничена двумя кривыми, мы можем использовать интеграл для вычисления площади. В данном случае, поскольку мы интегрируем по оси x, площадь можно выразить следующим образом:

S = ∫[a,b] [f(x) - g(x)] dx

где a и b - границы интегрирования по оси x, f(x) - верхняя кривая (в данном случае y = x^2 - 2x), g(x) - нижняя кривая (в данном случае y = 2x - 3).

Теперь мы можем вычислить площадь:

S = ∫[1,3] [(x^2 - 2x) - (2x - 3)] dx

Вычислим этот интеграл:

S = ∫[1,3] (x^2 - 2x - 2x + 3) dx

S = ∫[1,3] (x^2 - 4x + 3) dx

S = [x^3/3 - 2x^2 + 3x] from 1 to 3

S = [(3^3/3 - 2(3^2) + 3(3)) - (1^3/3 - 2(1^2) + 3(1))]

S = [(27/3 - 18 + 9) - (1/3 - 2 + 3)]

S = [(9 - 18 + 9) - (1/3 - 2 + 3)]

S = [27/3 - 18 + 9 - 1/3 + 2 - 3]

S = (9 - 18 + 9 - 1/3 + 2 - 3)

S = (6 - 1/3)

S = 17/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 - 2x и y = 2x - 3, составляет 17/3 или около 5.67 квадратных единиц.