Question

Помогите исследовать функцию y=(e^(x-3))/(x-3) и построить график

Answer 1

Ответ.
f(x)=-x^3+3*x^2+4
1) Функция определена для всех х, область значений функции от -беск. до +беск.
2) f(-x)=x^3+3*x^2+4 не=f(x) и не= -f(x) - не чётная и не нечётная
3) Функция непрерывна для всех значений х. (y'=6*x-3*x^ существует для всех х)
5) Функция пересекается с осью ОХ в точках х=3,355 (примерно) и с осью OY в точке y=4
6) y'=6*x-3*x^=0 при x=0 и x=2 х=0 - точка локального минимума, х=2 - точка локального максимума. На промежутках от -беск. до 0 и от 2 до +беск. функция убывает (y' < 0), на промежутке от 0 до 2 функция возрастает (y' > 0).
7) y''=6-6x=0 x=1 - точки перегиба. На промежутках (-беск; 1) функция выпукла вниз, на промежутке (1;+беск) функция выпукла вверх.

Answer 2

Функция, которую вы предоставили, выглядит следующим образом: y = (e^(x-3))/(x-3). Давайте исследуем эту функцию и построим ее график.

Определение области определения

Чтобы определить область определения функции, нужно найти значения x, при которых знаменатель (x-3) не равен нулю. Если знаменатель равен нулю, функция будет неопределена. В данном случае, функция не определена при x = 3.

Асимптоты

Для определения асимптот функции, нужно рассмотреть ее пределы при x, стремящемся к бесконечности и минус бесконечности.

- Предел функции при x, стремящемся к бесконечности: lim(x->∞) (e^(x-3))/(x-3) = ∞. Это означает, что функция не имеет горизонтальной асимптоты при x, стремящемся к бесконечности. - Предел функции при x, стремящемся к минус бесконечности: lim(x->-∞) (e^(x-3))/(x-3) = 0. Это означает, что функция имеет горизонтальную асимптоту y = 0 при x, стремящемся к минус бесконечности.

Точки пересечения с осями координат

Чтобы найти точки пересечения с осями координат, нужно приравнять функцию к нулю и решить уравнение.

- Пересечение с осью OX: (e^(x-3))/(x-3) = 0. Здесь нет решений, так как экспонента e^(x-3) не может быть равна нулю. - Пересечение с осью OY: При x = 0, функция равна y = (e^(-3))/(0-3) = -e^(-3)/3.

Производная и поведение функции

Чтобы изучить поведение функции, найдем ее производную.

- Производная функции: y' = (e^(x-3))/(x-3) * (1 - ln(x-3)).

Из производной можно сделать следующие наблюдения: - Функция не определена при x = 3, поэтому производная также не определена при x = 3. - Функция имеет вертикальную асимптоту при x = 3, так как знаменатель (x-3) стремится к нулю при x, стремящемся к 3. - Функция убывает на интервале (-∞, 3) и возрастает на интервале (3, +∞). - Функция имеет точку экстремума при x = e^3, где производная равна нулю.

Построение графика

Давайте построим график функции y = (e^(x-3))/(x-3) с учетом всех вышеуказанных наблюдений.


На графике видно, что функция имеет вертикальную асимптоту при x = 3 и горизонтальную асимптоту y = 0 при x, стремящемся к минус бесконечности. Также видно, что функция убывает на интервале (-∞, 3) и возрастает на интервале (3, +∞).

Надеюсь, эта информация поможет вам исследовать функцию и построить ее график. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!