Question

1. lim ln cos x/3^sin2x - 1x-->2п2. lim (3n-1)!+(3n+1)! / 3n!(n-1)n-->бесконечность

Answer 1

1) 'limit(логарифм(cos(x))/3^sin(2*x)-1, x, inf)
2) +inf

Answer 2

Давайте посмотрим на каждое упражнение по отдельности.

1. lim ln(cos(x))/(3^(sin(2x)) - 1/x^2) as x approaches 0

Для начала, давайте рассмотрим каждую часть выражения по отдельности.

ln(cos(x)) - натуральный логарифм от cos(x). Это означает, что мы берем натуральный логарифм от значения, которое возвращает функция cos(x).

3^(sin(2x)) - это 3 в степени sin(2x).

Теперь, давайте вычислим предел:

lim ln(cos(x))/(3^(sin(2x)) - 1/x^2) as x approaches 0

Для начала, подставим x=0 в выражение. Получаем:

ln(cos(0))/(3^(sin(2*0)) - 1/0^2)

ln(1)/(3^(sin(0)) - 1/0)

Теперь, так как cos(0) = 1, sin(0) = 0, и 3^0 = 1, мы можем упростить выражение:

ln(1)/(1-1/0) ln(1)/0

Теперь, вспомним, что ln(1) = 0, так как e^0 = 1. Поэтому:

0/0

Это неопределенная форма, и для решения предела нам нужно использовать правило Лопиталя.

Правило Лопиталя гласит, что если предел функции f(x) при x стремящемся к a и предел функции g(x) при x стремящемся к a равен 0/0 или бесконечность/бесконечность, то предел от их отношения будет равен пределу отношения их производных, если этот предел существует.

Теперь, чтобы применить правило Лопиталя, нам нужно найти производные функций в числителе и знаменателе.

Производная ln(cos(x)) равна -sin(x)/cos(x).

Производная 3^(sin(2x)) равна 3^(sin(2x)) * ln(3) * 2 * cos(2x).

Производная 1/x^2 равна -2/x^3.

Теперь мы можем вычислить предел производных:

lim (-sin(x)/cos(x))/(3^(sin(2x)) * ln(3) * 2 * cos(2x) - 2/x^3) as x approaches 0

Подставим x=0 и получим:

(-sin(0)/cos(0))/(3^(sin(2*0)) * ln(3) * 2 * cos(2*0) - 2/0^3)

(0/1)/(3^(sin(0)) * ln(3) * 2 * cos(0) - undefined)

Теперь мы видим, что в знаменателе у нас получилось неопределенное значение, поэтому снова применяем правило Лопиталя.

Вычисляем производные:

Производная (-sin(x)/cos(x)) равна -(cos(x)^2 + sin(x)^2)/cos(x)^2.

Производная (3^(sin(2x)) * ln(3) * 2 * cos(2x)) равна 3^(sin(2x)) * ln(3)^2 * 4 * cos(2x)^2 - 3^(sin(2x)) * ln(3) * 4 * sin(2x) * cos(2x).

Производная (-2/x^3) равна 6/x^4.

Теперь вычисляем предел производных:

lim (-(cos(x)^2 + sin(x)^2)/cos(x)^2)/(3^(sin(2x)) * ln(3)^2 * 4 * cos(2x)^2 - 3^(sin(2x)) * ln(3) * 4