Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=-x^2+2x+8;y=2x+4

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+2x+8 и y=2x+4, нужно найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл.

Сначала найдем точки пересечения. Для этого приравняем уравнения и найдем x:

-x^2+2x+8 = 2x+4 -x^2+2x+8-2x-4 = 0 -x^2+8 = 0 x^2-8 = 0 (x-2)(x+4) = 0 x = 2, x = -4

Теперь мы знаем, что точки пересечения находятся при x=2 и x=-4. Подставим эти значения обратно в уравнения, чтобы найти соответствующие значения y:

Для x=2: y=-2^2+2*2+8 y=-4+4+8 y=8

Для x=-4: y=-(-4)^2+2*(-4)+8 y=-16-8+8 y=-16

Теперь мы знаем, что точки пересечения находятся при (2, 8) и (-4, -16).

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Для этого мы будем использовать определенный интеграл:

S = ∫[a, b] |f(x) - g(x)| dx

где a и b - это точки пересечения (в данном случае -4 и 2), f(x) - первая функция (y=-x^2+2x+8), g(x) - вторая функция (y=2x+4).

S = ∫[-4, 2] |(-x^2+2x+8) - (2x+4)| dx S = ∫[-4, 2] |-x^2+2x+8-2x-4| dx S = ∫[-4, 2] |-x^2-2x+4| dx

Теперь вычислим данный определенный интеграл:

S = ∫[-4, 2] |-x^2-2x+4| dx S = ∫[-4, 2] (x^2+2x-4) dx S = [1/3*x^3 + x^2 - 4x]∣[-4, 2] S = (1/3*2^3 + 2^2 - 4*2) - (1/3*(-4)^3 + (-4)^2 - 4*(-4)) S = (8/3 + 4 - 8) - (-64/3 + 16 + 16) S = 20/3 - 8 + 64/3 - 32 S = 84/3 - 96/3 S = -12/3 S = -4

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+2x+8 и y=2x+4, равна -4 квадратных единиц.