Question

Как решить интеграл под номером 4.15 ? напишите плиз подробное с решение)))

Answer 1

Найти определенный интеграл $\int\limits^6 _{2\sqrt {3} } \frac{dx}{ x^{2} \sqrt{ x^{2} -9} }$
Решение
В начале найдем неопределенный интеграл $\int\frac{dx}{ x^{2} \sqrt{ x^{2} -9} }$
Сделаем замену переменных $x= \frac{3}{cosy}; dx = (\frac{3}{cosy})' = \frac{3siny}{cos^{2} y} = \frac{3tgy}{cosy}$
Подставляем в интеграл
$\int\frac{dx}{ x^{2} \sqrt{ x^{2} -9} } = \int\frac{ \frac{3tgy}{cosy}}{ \frac{9}{cos^{2}y } \sqrt{ \frac{9}{cos^{2}y}-9}} \,dy= \frac{1}{9} \int \frac{siny}{ \sqrt{\frac{sin^{2}y}{cos^{2}y} }} \, dy= \frac{1}{9} \int{cosy} \, dx=$
$= \frac{siny}{9}$
Обратная замена переменных
$siny= \sqrt{1-cos^{2}} = \sqrt{1-( \frac{3}{x})^{2} }= \frac{ \sqrt{x^{2}-9}}{x}$
Поэтому можно записать
$\int\frac{dx}{ x^{2} \sqrt{ x^{2} -9} } =\frac{siny}{9}= \frac{ \sqrt{x^{2}-9}}{9x}$
Подставляем выражение в определенный интеграл
$\int\limits^6_{2\sqrt {3} }\frac{dx}{ x^{2}\sqrt{ x^{2}-9} }= \frac{ \sqrt{ x^{2} -9}}{9x} \left[\begin{array}{cc}6\\2\sqrt{3}\end{array}\right]=\frac{\sqrt{6^2-9}}{54}-\frac{\sqrt{12-9}}{18 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{18}-\frac{1}{18}=$
$=\frac{\sqrt{3}-1}{18}$