Question

Решите уравнение 16cos^4 x-24cos^2 x+9=0 b)найдите все корни уравнения принадлежащие отрезку [2пи; 3пи]

Answer 1

Возможно тут есть ошибка. Но по моему все правильно сделано!

Answer 2

Для решения уравнения \(16\cos^4(x) - 24\cos^2(x) + 9 = 0\) давайте введем замену. Пусть \(u = \cos^2(x)\). Тогда уравнение примет вид:

\[16u^2 - 24u + 9 = 0.\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Вы можете использовать квадратное уравнение или, например, дискриминант, чтобы найти корни. Дискриминант равен \(D = b^2 - 4ac\), где у нас \(a = 16\), \(b = -24\), и \(c = 9\).

\[D = (-24)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 576 - 576 = 0.\]

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть один корень квадратного уравнения, который можно найти по формуле \(u = \frac{-b}{2a}\):

\[u = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}.\]

Теперь вернемся к исходной переменной \(\cos^2(x)\):

\[\cos^2(x) = \frac{3}{4}.\]

Отсюда получаем два значения для \(\cos(x)\): \(\cos(x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Теперь рассмотрим отрезок \([2\pi, 3\pi]\). На этом интервале \(\cos(x)\) принимает значения от \(-1\) до \(1\). Из двух корней, \(\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) удовлетворяет этому условию. Таким образом, единственный корень на отрезке \([2\pi, 3\pi]\) равен \(x = \frac{5\pi}{6}\).