Question

Найти наибольшую площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, у которой диагональ равна а

Answer 1

Получается 4аh. так как площадь правильной четырехугольной призмы равна Sбок=Росн*h. получается периметр основания надо умножить на высоту, а так как она правильная, то ее стороны будут равны. значит периметр равен 4*а. ну и уможить в конце на высоту. получилось 4аh, как то так.

Answer 2

Давайте рассмотрим правильную четырехугольную призму с диагональю \(a\). Предположим, что основание призмы - квадрат со стороной \(x\). Так как призма правильная, то у нее все боковые грани равны между собой.

Итак, у нас есть квадратное основание с диагональю \(a\) и стороной \(x\). Так как у квадрата все стороны равны, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны \(x\):

\[ x^2 + x^2 = a^2 \]

\[ 2x^2 = a^2 \]

\[ x^2 = \frac{a^2}{2} \]

\[ x = \frac{a}{\sqrt{2}} \]

Теперь мы знаем сторону \(x\). Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Периметр квадрата равен \(4x\), а высота призмы равна длине боковой грани, которая равна \(x\). Таким образом, площадь боковой поверхности \(S_b\) выражается как:

\[ S_b = 4x \cdot x \]

Подставим значение \(x\), которое мы нашли ранее:

\[ S_b = 4 \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} \]

\[ S_b = \frac{4a^2}{2} \]

\[ S_b = 2a^2 \]

Таким образом, максимальная площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы с диагональю \(a\) равна \(2a^2\).