Question

2 Sin^2x+sinx-1=0 решите пожайлусто

Answer 1

Sinx=y
2y^2+y-1=0
D=1-4*2*(-1)=9
y1=(-1+3)/4=1/2
y2=(-1-3)4= -2
sinx=1/2
x= arcsin(1/2)+2*pi*n
x=pi/6 +2*pi*n    n∈Z
sin x= -2  синус не может быть по модулю меньше или больше 1. не подходит
ответ x=pi/6+2*pi*n      n∈Z

Answer 2

Давайте решим уравнение: \(2\sin^2x + \sin x - 1 = 0\).

Для упрощения обозначений заменим \(\sin x\) буквой \(t\). Тогда уравнение примет вид:

\[2t^2 + t - 1 = 0.\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) и формулами для корней квадратного уравнения:

\[t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

В уравнении \(2t^2 + t - 1 = 0\), коэффициенты \(a\), \(b\), и \(c\) равны соответственно 2, 1 и -1. Подставим их в формулы:

\[D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.\]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два действительных корня:

\[t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}.\]

Таким образом, у нас есть два корня: \(t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}\) и \(t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1\).

Теперь вернемся к исходной переменной \(\sin x\). Так как \(\sin x = t\), мы имеем два уравнения:

1. \(\sin x = \frac{1}{2}\) 2. \(\sin x = -1\)

Решения первого уравнения:

\(\sin x = \frac{1}{2}\) имеет два основных решения на интервале \([0, 2\pi)\): \(x_1 = \frac{\pi}{6}\) и \(x_2 = \frac{5\pi}{6}\). Также учтем периодичность синуса, и мы можем добавить \(2\pi k\), где \(k\) - целое число. Таким образом, общее решение для \(\sin x = \frac{1}{2}\) выглядит как \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\).

Решение второго уравнения:

\(\sin x = -1\) имеет одно решение на интервале \([0, 2\pi)\): \(x_3 = \pi\). Также учтем периодичность синуса, и мы можем добавить \(2\pi k\), где \(k\) - целое число. Таким образом, общее решение для \(\sin x = -1\) выглядит как \(x = \pi + 2\pi k\).

Итак, общее решение уравнения \(2\sin^2x + \sin x - 1 = 0\) это:

\[x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi k,\]

где \(k\) - целое число.