Question

Мальчик хочет на стене дома выложить мозаику прямоугольной формы из разноцветных квадратных плиток. Если укладывать в ряд по 9 плиток, то для квадратной мозаики плиток не хватает. При укладывании по 7 тоже остаётся неполный ряд, в котором на 5 плиток больше, чем в неполном ряду при укладывании по 8 плиток. Сколько всего плиток у мальчика?

Answer 1

Понятно, что плиток не больше 80.  От полного  ряда семёрок отнимаем единицу, чтобы плиток в неполном ряду оставалось больше. 

Получаем  ряд  76, 69, 62 ...  41.

Делаем подборку

41=  7*5+6

41=  8*5+1

6 -1= 5

После строительства дома осталась  41  плитка.

Answer 2

Предположим, что мальчику не хватает x плиток для квадратной мозаики.

Используя информацию из условия задачи, мы можем составить следующие уравнения:

9n - x = (n + 1)^2 (где n - количество рядов плиток, x - недостающее количество плиток для квадрата, n + 1 - количество рядов в укладке по 9 плиток) 7(n + 1) = 8n + 5 (где n + 1 - количество рядов в укладке по 7 плиток, 8n + 5 - количество плиток в неполном ряду при укладке по 8 плиток)

Решим первое уравнение:

9n - x = (n + 1)^2 9n - x = n^2 + 2n + 1 n^2 - 7n + 1 - x = 0 (запишем это квадратное уравнение в общем виде)

Поскольку известно, что n - целое число, то дискриминант квадратного уравнения должен быть квадратом некоторого целого числа:

D = (-7)^2 - 4*1*(-x) = 49 + 4x

49 + 4x = k^2 (где k - некоторое целое число)

Решим второе уравнение:

7(n + 1) = 8n + 5 7n + 7 = 8n + 5 n = 2

Подставим полученное значение n обратно в первое уравнение:

n^2 - 7n + 1 - x = 0 (2)^2 - 7(2) + 1 - x = 0 4 - 14 + 1 - x = 0 -9 - x = 0 x = -9

Так как нам интересует количество плиток, а количество плиток не может быть отрицательным, мы получили, что недостающее количество плиток равно 9.

Теперь мы можем найти общее количество плиток у мальчика:

Количество плиток в ряду при укладке по 8 плиток: 8 * (n + 1) = 8 * (2 + 1) = 24 Количество плиток в ряду при укладке по 9 плиток: 9 * n = 9 * 2 = 18 Общее количество плиток: 24 + 18 = 42

Таким образом, у мальчика всего 42 плитки.