Question

решите уравнение cosx-2sin2x*sinx-4cos2x-4sin^2x=0

Answer 1

cos2x=cos^2x-sin^2x

sin2x=2sinx*cosx

sin^2x=1-cos^2x

cosx-4sin^2x*cosx-4cos^2x+4sin^2x-4sin^2x=0

cosx-4(1-cos^2x)(cosx)-4cos^2x=0

4cos^3x-4cos^2x-3cosx=0

cosx(4cos^2x-4cosx-3)=0

1)cosx=0 ..... Первый ответ

x=$\frac{\pi}{2}+2\pi*k$

2)4cos^2x-4cosx-3=0

дискриминант равен 64

cosX1= 12/8

cosX2= -1/2

cosX1- посторонний корень

cosX2=-1/2 X= плюс\минус $\frac{2\pi}{3}+2\pi*k$ ..... Второй ответ

Answer 2

Для решения данного уравнения мы будем использовать тригонометрические тождества и методы факторизации.

Данное уравнение выглядит следующим образом: cos(x) - 2sin^2(x) * sin(x) - 4cos^2(x) - 4sin^2(x) = 0.

Для начала приведем его к более удобному для работы виду, заменив sin^2(x) на 1 - cos^2(x): cos(x) - 2(1 - cos^2(x)) * sin(x) - 4cos^2(x) - 4sin^2(x) = 0.

Теперь раскроем скобки: cos(x) - 2sin(x) + 2cos^2(x) * sin(x) - 4cos^2(x) - 4 + 4sin^2(x) = 0.

Сгруппируем подобные слагаемые: 2cos^2(x) * sin(x) + 4sin^2(x) - 4cos^2(x) - 2sin(x) + cos(x) - 4 = 0.

Заметим, что первое и второе слагаемые можно представить в виде: 2cos^2(x) * sin(x) + 4sin^2(x) = 2sin(x) * (cos^2(x) + 2sin(x)).

Последнее выражение можно упростить, используя тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x): 2sin(x) * (1 - sin^2(x) + 2sin(x)) = 2sin(x) * (1 + sin^2(x)).

Теперь подставим это в уравнение: 2sin(x) * (1 + sin^2(x)) - 4cos^2(x) - 2sin(x) + cos(x) - 4 = 0.

Для удобства введем новую переменную t = sin(x): 2t * (1 + t^2) - 4(1 - t^2) - 2t + cos(x) - 4 = 0.

Раскроем скобки: 2t + 2t^3 - 4 + 4t^2 - 2t + cos(x) - 4 = 0.

Упростим выражение и перенесем все слагаемые на одну сторону: 2t^3 + 4t^2 + cos(x) - 6t = 0.

Теперь рассмотрим отдельно тригонометрическую часть уравнения: cos(x) - 6t = 0.

Из этого уравнения получаем, что cos(x) = 6t.

Теперь мы можем возвратиться к исходному уравнению и подставить это значение: 2t^3 + 4t^2 + 6t - 6t = 0.

Упростим это уравнение: 2t^3 + 4t^2 = 0.

Факторизуем: 2t^2(t + 2) = 0.

Получаем два возможных значения t: 1) t = 0. 2) t + 2 = 0, откуда t = -2.

Теперь найдем соответствующие значения cos(x): 1) cos(x) = 6 * 0 = 0, откуда x = π/2 + kπ, где k - целое число. 2) cos(x) = 6 * (-2) = -12, но такой cos не существует в пределах действительных чисел.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение: x = π/2 + kπ, где k - целое число.