Question

1*2+2*3+3*4+...+99*100 верно ли равенство

Answer 1

Преобразуем
$(1*2)+(2*3)+(3*4)+(4*5)+(5*6)=\\\\ 1(1+1)+2(2+1)+3(3+1)+4(4+1)+5(5+1)+6(6+1).....99(99+1)=\\\\ (1+2+3+4+5+6+...99)+(1^2+2^2+3^2+5^2+6^2+7^2+8^2...99^2)=$
первое это арифметическая сумма и она равна ,по   формуле
$S_{99}=\frac{2+98}{2}*99=4950$
вторая $S'{n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ \\S_{99}'=\frac{99*100*199}{6}=328350\\ 4950+328350=333300$
 

Answer 2

Чтобы решить это уравнение, нужно вычислить сумму всех произведений от 1 до 99, где каждое произведение это число, умноженное на следующее за ним. Примерно так:

1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + 99*100

Мы можем заметить, что каждое слагаемое вида "n*(n+1)" можно представить как "(n+1)^2 - (n+1)". Например, 1*2 = (2^2 - 2), 2*3 = (3^2 - 3) и так далее.

Теперь мы можем переписать нашу сумму следующим образом:

(2^2 - 2) + (3^2 - 3) + (4^2 - 4) + ... + (100^2 - 100)

Видим, что каждое слагаемое представляет собой квадрат числа, уменьшенного на это число. Мы можем выделить общий множитель и переписать сумму следующим образом:

(2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + 100^2) - (2 + 3 + 4 + ... + 100)

Первое слагаемое представляет собой сумму квадратов чисел от 2 до 100, а второе слагаемое представляет собой сумму чисел от 2 до 100.

Вычисление суммы квадратов чисел от 2 до 100

Сумма квадратов чисел от 2 до 100 может быть вычислена с помощью формулы:

S = n * (n + 1) * (2n + 1) / 6,

где n - последнее число в последовательности. В данном случае n = 100.

Подставим значения:

S = 100 * (100 + 1) * (2 * 100 + 1) / 6

S = 100 * 101 * 201 / 6

S = 338350

Вычисление суммы чисел от 2 до 100

Сумма чисел от 2 до 100 может быть вычислена с помощью формулы:

S = (n * (n + 1)) / 2,

где n - последнее число в последовательности. В данном случае n = 100.

Подставим значения:

S = (100 * (100 + 1)) / 2

S = (100 * 101) / 2

S = 5050

Результат

Теперь мы можем вычислить исходную сумму:

(2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + 100^2) - (2 + 3 + 4 + ... + 100)

(338350) - (5050)

Результат равен 333300.