Question

1.По кругу написано 20 различных натуральных чисел. Какое наименьшее количество из них могут быть больше полусуммы соседей? 2.У коли есть пяти и десятирублевые монеты всего 12 монет коля может набрать этими монетами 17 разных сумм.Сколько пятирублевых монет у Коли? 3.Вася написал на доске положительные числа a, b и . После этого Маша нашла среди них наименьшее (одно из наименьших, если их было несколько), а остальные два числа стерла. Найдите наибольшее возможное число, которое могло остаться у Маши.75 баллов за решения.

Answer 1

Лллл
ллшрржлрлождолждолдж

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из ваших вопросов.

1. Наименьшее количество чисел: Пусть у нас есть 20 различных натуральных чисел, расположенных в круге. Обозначим эти числа через \(a_1, a_2, \ldots, a_{20}\).

Полусумма соседей для каждого числа в круге будет равна \(\frac{a_{i-1} + a_{i+1}}{2}\), где индексы берутся по модулю 20 (то есть, \(a_{20+1}\) считается как \(a_1\)).

Теперь мы ищем такое число \(n\), которое больше полусуммы его соседей. Таким образом, для каждого \(i\) должно выполняться \(n > \frac{a_{i-1} + a_{i+1}}{2}\).

Рассмотрим случай, когда все числа равны. Пусть \(n\) - это это число. Тогда условие превращается в \(n > \frac{2n}{2}\), что верно для любого положительного \(n\).

Таким образом, даже если все числа одинаковы, условие выполняется. Таким образом, наименьшее количество чисел, которые могут быть больше полусуммы соседей, - это 1.

2. Количество пятирублевых монет: Обозначим количество пятирублевых монет за \(x\), а количество десятирублевых монет за \(y\). Условие задачи можно записать в виде уравнения:

\[5x + 10y = 17\]

Также у нас есть ограничение на общее количество монет: \(x + y = 12\). Решим эту систему уравнений.

Умножим первое уравнение на 2:

\[10x + 20y = 34\]

Теперь вычтем из него второе уравнение:

\[10x + 20y - (x + y) = 34 - 12\]

\[9x + 19y = 22\]

Заметим, что это уравнение имеет решение \(x = 2, y = 10\). Таким образом, у Коли 2 пятирублевых монет.

3. Наибольшее возможное число у Маши: Поскольку Маша находит наименьшее число из \(a\), \(b\) и \(c\), её задача - выбрать наименьшее из двух чисел, которые написал Вася. Таким образом, наибольшее возможное число у Маши - это максимальное из \(a\) и \(b\).

Если предположить, что \(a\) и \(b\) - это различные числа, то наибольшее число, которое может остаться у Маши, - это максимальное из \(a\) и \(b\).

Если \(a = b\), то Маша стирает одно из них. Таким образом, наибольшее возможное число у Маши - это \(c\).

Таким образом, наибольшее возможное число у Маши - это максимум из \(a\), \(b\) и \(c\), что равно 75 баллам.