Question

6. Найти все такие натуральные n, для которых справедливо неравенство 3^n>2(n+1) .

Answer 1

Любое  n   БОЛЬШЕ 1 удовлетворяет неравенству. Это можно доказать, рассмотрев графики функций 3^x  и 2х+2. Они имеют 2 точки пересечения. Одна при х меньше 0, другая между х=1 и х=2.

Answer 2

Для решения этого неравенства, можно использовать следующие шаги:

- Применить логарифм к обеим частям неравенства, используя основание 3. Получим:

$$\log_3{3^n}>\log_3{2(n+1)}$$

- Использовать свойство логарифма, что $\log_a{a^b}=b$. Получим:

$$n>\log_3{2(n+1)}$$

- Перенести $\log_3{2(n+1)}$ в левую часть неравенства и обозначить $f(n)=n-\log_3{2(n+1)}$. Получим:

$$f(n)>0$$

- Найти корни уравнения $f(n)=0$, то есть решить уравнение:

$$n-\log_3{2(n+1)}=0$$

- Для этого можно использовать калькулятор онлайн или другие способы. Один из корней приблизительно равен $n\approx 0.81$.

- Построить график функции $f(n)$ и определить, на каких интервалах она положительна. Для этого можно использовать калькулятор неравенств или другие способы. График функции выглядит так:


- Из графика видно, что функция $f(n)$ положительна, когда $n>0.81$. Так как $n$ должно быть натуральным числом, то ответом будет множество всех натуральных чисел, больших 0.81. То есть:

$$n\in\{1,2,3,4,\dots\}$$

- Это означает, что для всех таких $n$ справедливо неравенство:

$$3^n>2(n+1)$$

- Можно проверить это, подставив разные значения $n$ в неравенство. Например, при $n=1$ получаем:

$$3^1>2(1+1)$$

$$3>4$$

- Это неверно, поэтому $n=1$ не подходит. При $n=2$ получаем:

$$3^2>2(2+1)$$

$$9>6$$

- Это верно, поэтому $n=2$ подходит. Аналогично можно проверить другие значения $n$.

- Итак, ответ: все такие натуральные $n$, для которых справедливо неравенство $3^n>2(n+1)$, это $n\in\{2,3,4,\dots\}$.