Question

Найдите область определения функции y = sqrt(10 - x^2 - 3x) / sqrt(1 - x) Пожалуйста с объяснениями...

Answer 1

Y=(√(10-x²-3x))/(√(1-x))
{10-x²-3x≥0
 1-x≥0
 1-x≠0
⇒{-x²-3x+10≥0        {-(x-2)*(x+5)≥0     {(x-2)*(x+5)≤0
    1-x>0                     -x>-1                   x<1
              \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \
-----------|---------|----------|----------->x
            -5         1           2
 / / / / / / / / /  / / /
x∈[-5;1)

Answer 2

Чтобы найти область определения функции \(y = \frac{\sqrt{10 - x^2 - 3x}}{\sqrt{1 - x}}\), нужно рассмотреть значения \(x\), при которых функция определена. Для этого мы должны учесть два момента:

1. В знаменателе не должно быть корня из отрицательного числа, поскольку корень из отрицательного числа в обычных действительных числах не определен. 2. В выражении под корнем в числителе также не должно быть отрицательного числа.

Давайте поочередно рассмотрим оба случая:

1. Знаменатель (выражение под корнем в знаменателе): \[\sqrt{1 - x}\]

Условие: \(1 - x \geq 0\)

Решим это неравенство: \[1 - x \geq 0\] \[1 \geq x\]

Таким образом, область определения для выражения под корнем в знаменателе: \(x \leq 1\).

2. Числитель (выражение под корнем в числителе): \[\sqrt{10 - x^2 - 3x}\]

Условие: \(10 - x^2 - 3x \geq 0\)

Давайте решим это квадратное неравенство. Сначала упростим выражение: \[10 - x^2 - 3x \geq 0\]

После упрощения получим: \[(x + 1)(x - 10) \leq 0\]

Теперь найдем интервалы, где это неравенство выполняется. Для этого рассмотрим знаки выражения в каждом из интервалов:

- \(x < -1\): Оба множителя отрицательны, произведение положительно. - \(-1 < x < 10\): Первый множитель положителен, второй отрицателен, произведение отрицательно. - \(x > 10\): Оба множителя положительны, произведение положительно.

Таким образом, решением неравенства является интервал \(-1 \leq x \leq 10\).

Теперь объединим оба условия (для знаменателя и числителя):

\[x \leq 1 \quad \text{и} \quad -1 \leq x \leq 10\]

Таким образом, область определения функции \(y = \frac{\sqrt{10 - x^2 - 3x}}{\sqrt{1 - x}}\) - это \(-1 \leq x \leq 1\).