Question

Леонардо да Винчи вывел правило, согласно которому квадрат диаметра ствола дерева равен сумме квадратов диаметров ветвей, взятых на общей фиксированной высоте. Допустим, что это действительно так. Пользуясь этим правилом, укажите два натуральных числа, между которыми располагается значение диаметра меньшей из двух ветвей дерева. Известно, что диаметры ветвей отличаются на 6 см, а диаметр ствола равен 20 см. В ответе укажите эти числа в порядке возрастания, разделяя их одним пробелом, при этом не используйте какие-либо знаки препинания

Answer 1

Меньшая ветвь x см, другая (x+-6) см. По условию
$x^2+(x+6)^2=(20)^2\\x^2+x^2+12x+36=400\\2x^2+12x-364=0\\x^2+6x-182=0\\D=36+4\cdot182=764\\x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{764}}2=\frac{-6\pm2\sqrt{191}}2=-3\pm\sqrt{191}\\x_1=-3-\sqrt{191}\approx-16,82\;-\;He\;nogx.\\x_2=-3+\sqrt{191}\approx10,82$
Меньшая ветвь имеет диаметр примерно 10,82 см, это между 10 и 11.

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой, о которой идет речь:

\[D^2_{\text{ствола}} = D^2_{\text{ветви1}} + D^2_{\text{ветви2}}\]

где \(D_{\text{ствола}}\) - диаметр ствола дерева, \(D_{\text{ветви1}}\) и \(D_{\text{ветви2}}\) - диаметры двух ветвей на общей фиксированной высоте.

Известно, что диаметр ствола \(D_{\text{ствола}}\) равен 20 см, и диаметры ветвей отличаются на 6 см. Обозначим диаметр бОльшей ветви как \(D_{\text{большая}}\), а диаметр меньшей ветви как \(D_{\text{меньшая}}\). Тогда:

\[D_{\text{большая}} = D_{\text{меньшая}} + 6\]

Также, согласно формуле, у нас есть:

\[20^2 = D_{\text{большая}}^2 + D_{\text{меньшая}}^2\]

Подставим выражение для \(D_{\text{большая}}\) из первого уравнения во второе:

\[20^2 = (D_{\text{меньшая}} + 6)^2 + D_{\text{меньшая}}^2\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[400 = D_{\text{меньшая}}^2 + 12D_{\text{меньшая}} + 36 + D_{\text{меньшая}}^2\]

\[2D_{\text{меньшая}}^2 + 12D_{\text{меньшая}} - 364 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться формулой для нахождения корней:

\[D_{\text{меньшая}} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a = 2\), \(b = 12\), и \(c = -364\).

Рассчитаем:

\[D_{\text{меньшая}} = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4(2)(-364)}}{2(2)}\]

\[D_{\text{меньшая}} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 2912}}{4}\]

\[D_{\text{меньшая}} = \frac{-12 \pm \sqrt{3056}}{4}\]

\[D_{\text{меньшая}} = \frac{-12 \pm 56}{4}\]

Теперь у нас есть два значения для \(D_{\text{меньшая}}\):

1. \(D_{\text{меньшая1}} = \frac{-12 + 56}{4} = \frac{44}{4} = 11\) 2. \(D_{\text{меньшая2}} = \frac{-12 - 56}{4} = \frac{-68}{4} = -17\)

Отбросим отрицательное значение, так как диаметр не может быть отрицательным. Таким образом, \(D_{\text{меньшая}} = 11\).

Теперь найдем \(D_{\text{большая}}\):

\[D_{\text{большая}} = D_{\text{меньшая}} + 6 = 11 + 6 = 17\]

Итак, два натуральных числа, между которыми располагается значение диаметра меньшей из двух ветвей дерева, равны 11 и 17. Упорядочим их в порядке возрастания:

\[11 \quad 17\]

Это и есть ответ.