Question

Найдите все решения уравнения (sin x + cos x)^2=1 sin x cos x, принадлежащие отрезку (0;2п)

Answer 1

Sinx = cosx
2sin(x/2)cos(x/2) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) |:cos^2(x/2)
tg^2(x/2) +2tg(x/2) - 1 = 0
tg(x/2) = t
t^2 +2t - 1 = 0
D = 4 + 4 = 8
t = (-2 +- 8^0,5)/2 = -1 +- 2^0,5
tg(x/2) = -1 + 2^0,5 tg(x/2) = -1 - 2^0,5
x/2 = arctg(2^0,5 - 1) +Пk x/2 = arctg(-1 - 2^0,5) +Пk
x = 2arctg(2^0,5 - 1) + 2Пk x = -2arctg(1 + 2^0,5) + 2Пk

[-2п;0]
x = 2arctg(2^0,5 - 1) - 2П
x = -2arctg(1 + 2^0,5)
(Немного не уверена)

Answer 2

Дано уравнение:

(sin x + cos x)^2 = 1 + sin x + cos x

Мы хотим найти все решения этого уравнения, которые принадлежат отрезку (0, 2π).

Давайте разберемся с этим уравнением поэтапно.

Первый шаг: Раскрытие скобок

(sin x + cos x)^2 = 1 + sin x + cos x

Раскроем квадрат:

sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 1 + sin(x) + cos(x)

Второй шаг: Упрощение уравнения

Используем тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

1 + 2sin(x)cos(x) = 1 + sin(x) + cos(x)

Вычтем 1 с обеих сторон:

2sin(x)cos(x) = sin(x) + cos(x)

Третий шаг: Факторизация

Вынесем sin(x) + cos(x) из обеих частей уравнения:

(sin(x) + cos(x))(2cos(x) - 1) = 0

Теперь у нас есть два множителя, которые могут дать нам решения уравнения.

Четвертый шаг: Решение уравнения

Разберемся с каждым множителем по отдельности:

1. sin(x) + cos(x) = 0

Это уравнение не имеет решений на отрезке (0, 2π). Все значения sin(x) и cos(x) на этом отрезке положительны или отрицательны, поэтому их сумма не может быть равна нулю.

2. 2cos(x) - 1 = 0

Решим это уравнение:

2cos(x) = 1

cos(x) = 1/2

Известно, что cos(x) равен 1/2 при x = π/3 и x = 5π/3.

Таким образом, единственные решения уравнения (sin x + cos x)^2 = 1 + sin x + cos x, принадлежащие отрезку (0, 2π), это x = π/3 и x = 5π/3.