Question

В четырех угольнике ABCD AB=6, BC=5, CD=9. Найдите AD, если известно, что в четырех угольнике ABCD можно вписать окружнось

Answer 1

Окружность можно вписать только в тот четырехугольник, у которого противолежащие стороны равны. Отсюда: AB+CD=BC+AD , 6+9=5+AD, AD=10

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться свойствами окружности, вписанной в четырехугольник.

Основные свойства окружности, вписанной в четырехугольник:

1. Хорда, соединяющая точки касания окружности с сторонами четырехугольника, делит ее на две равные части. 2. Сумма противоположных углов, образованных хордой и сторонами четырехугольника, равна 180 градусов.

Решение:

Дано: AB = 6, BC = 5, CD = 9

Мы знаем, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Предположим, что центр окружности находится в точке O и имеет радиус r. Тогда, точки касания окружности с отрезками AB, BC, CD и DA обозначим как E, F, G и H соответственно.

Согласно свойствам окружности, вписанной в четырехугольник, мы можем сделать следующие выводы:

1. Аngle AEO = Angle ACO (углы, образованные сторонами четырехугольника и хордой, равны) 2. Аngle AEO = Angle AFO (углы, образованные сторонами четырехугольника и хордой, равны) 3. Аngle BFO = Angle BDO (углы, образованные сторонами четырехугольника и хордой, равны) 4. Аngle BFO = Angle BCO (углы, образованные сторонами четырехугольника и хордой, равны)

Также мы знаем, что сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусов. Поэтому:

Аngle AEO + Аngle BFO + Аngle BDO + Аngle CDO + Аngle ACO + Аngle BCO = 360 градусов

Подставим значения углов, учитывая равенство углов, образованных сторонами четырехугольника и хордой:

Аngle ACO + Аngle BCO + Аngle ACO + Аngle BCO = 360 градусов

2 * (Аngle ACO + Аngle BCO) = 360 градусов Аngle ACO + Аngle BCO = 180 градусов

Таким образом, мы получаем, что сумма углов ACO и BCO равна 180 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник ACO. Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Значит:

Аngle ACO + Аngle AOC + Аngle COA = 180 градусов

Заметим, что угол AOC является углом, образованным двумя радиусами окружности, и поэтому он равен 90 градусов. Таким образом:

Аngle ACO + 90 градусов + Аngle COA = 180 градусов

Аngle ACO + Аngle COA = 90 градусов

Так как углы ACO и BCO равны, мы можем записать:

2 * Аngle ACO = 90 градусов

Аngle ACO = 45 градусов

Отсюда следует, что угол COA также равен 45 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник BCO. У нас уже есть значение угла BCO:

Аngle BCO = 45 градусов

Мы можем применить теорему синусов к этому треугольнику:

sin(Аngle BCO) = BC / BO

sin(45 градусов) = 5 / BO

BO = 5 / sin(45 градусов)

BO = 5 * sqrt(2)

Таким образом, BO равно 5 * sqrt(2).

Аналогичным образом, мы можем рассмотреть треугольник ADO и применить теорему синусов:

sin(Аngle ACO) = AD / AO

sin(45 градусов) = AD / AO

AO = AD / sin(45 градусов)

AO = AD * sqrt(2)

Теперь рассмотрим треугольник ADC. Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Значит:

Аngle ACD + Аngle ADC + Аngle CDA = 180 градусов

Мы уже знаем, что угол ACD равен 45 градусов (так как он равен углу ACO). Пусть угол ADC равен x градусов. Тогда:

45 градусов + x градусов + Аngle CDA = 180 градусов

x градусов + Аngle CDA = 135 градусов

Так как угол CDA является углом, образованным двумя радиусами окружности, и поэтому он равен 90 градусов, мы можем записать:

x градусов + 90 градусов = 135 градусов

x градусов = 45 градусов

Таким образом, угол ADC также равен 45 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник ADO. У нас уже есть значение угла ADO:

Аngle ADO = 45 градусов

Мы можем применить теорему синусов к этому треугольнику:

sin(Аngle ADO) = AD / AO

sin(45 градусов) = AD / AO

AO = AD / sin(45 градусов)

AO = AD * sqrt(2)

Мы знаем, что AO = BO. Поэтому:

AD * sqrt(2) = 5 * sqrt(2)

AD = 5

Таким образом, длина отрезка AD равна 5.