Question

Срочно нужно на завтра, отдам 81 балл! На олимпиаде по математике председатель жюри провел опрос, чтобы узнать, кто из 40 участников решил задачи А,В и С.Результаты поиска оказались таковы:задачу А решили 25 учащихся, задачу В - 22, задачу С - 22, задачу А или В решили 35 учеников, А или С - 32, В или С - 31, все три задачи решили 10 человек.Сколько участников олимпиады решили только одну задачу?Сколько участников не одной из трех?

Answer 1

вроде вот так делается 

Answer 2

Давайте обозначим множества:

- \( А \) - участники, решившие задачу \( А \), - \( В \) - участники, решившие задачу \( В \), - \( С \) - участники, решившие задачу \( С \).

Также введем переменные:

- \( n(A) \) - количество участников, решивших задачу \( А \), - \( n(B) \) - количество участников, решивших задачу \( В \), - \( n(C) \) - количество участников, решивших задачу \( С \).

Из условия задачи у нас есть следующая информация:

1. \( n(A) = 25 \) - количество участников, решивших задачу \( А \), 2. \( n(B) = 22 \) - количество участников, решивших задачу \( В \), 3. \( n(C) = 22 \) - количество участников, решивших задачу \( С \), 4. \( n(A \cup B) = 35 \) - количество учеников, решивших задачу \( А \) или \( В \), 5. \( n(A \cup C) = 32 \) - количество учеников, решивших задачу \( А \) или \( С \), 6. \( n(B \cup C) = 31 \) - количество учеников, решивших задачу \( В \) или \( С \), 7. \( n(A \cap B \cap C) = 10 \) - количество учеников, решивших все три задачи.

Мы хотим найти количество участников, решивших только одну задачу, а также количество участников, не решивших ни одну из трех.

Для этого воспользуемся формулой включения-исключения:

\[ n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) \]

Подставим известные значения:

\[ 40 = 25 + 22 + 22 - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + 10 \]

Теперь рассмотрим те участники, которые решили только одну задачу:

1. \( n(A \cap B) \) - решили задачи \( A \) и \( B \) (не \( C \)), 2. \( n(A \cap C) \) - решили задачи \( A \) и \( C \) (не \( B \)), 3. \( n(B \cap C) \) - решили задачи \( B \) и \( C \) (не \( A \)).

Таким образом, количество участников, решивших только одну задачу, можно найти как:

\[ n(\text{только одну задачу}) = n(A \cap B) + n(A \cap C) + n(B \cap C) \]

Теперь у нас есть два уравнения, и мы можем решить систему уравнений для нахождения этих значений:

\[ 40 = 25 + 22 + 22 - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + 10 \]

\[ n(\text{только одну задачу}) = n(A \cap B) + n(A \cap C) + n(B \cap C) \]

Решение этой системы даст нам нужные значения.