Question

Вычислить неопределенный интеграл⌡(x+2)/(x^2+x+1)dx

Answer 1

$\int {\frac{x+2}{x^2+x+1}} \, dx = \frac{1}{2}\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1}} \, dx +\frac{3}{2}\int{\frac{1}{x^2+x+1}} \, dx = \\ = \frac{1}{2}\int{\frac{1}{x^2+x+1}} \, d(x^2+x+1) +\frac{3}{2}\int{\frac{1}{x^2+2\cdot\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1}} \, dx = \\ = \frac{1}{2}\ln|x^2+x+1| +\frac{3}{2}\int{\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}} \, dx = \\ = \frac{1}{2}\ln|x^2+x+1| +\frac{3}{2}\int{\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}} \, d(x+\frac{1}{2}) =$
$= \frac{1}{2}\ln|x^2+x+1| +\frac{3}{2}(\pm\frac{2}{\sqrt{3}}arctg\frac{2(x+\frac{1}{2})}{\sqrt{3}})+C= \\ = \frac{1}{2}\ln(x^2+x+1) \pm \sqrt{3}arctg\frac{2x+1}{\sqrt{3}})+C$

Answer 2

Для вычисления неопределенного интеграла ∫(x+2)/(x^2+x+1)dx, мы можем использовать метод частичных дробей.

Шаг 1: Найдем корни знаменателя x^2+x+1. Для этого решим квадратное уравнение x^2+x+1=0.

Используя квадратное уравнение, мы можем применить формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac. В данном случае a=1, b=1 и c=1.

D = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3.

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель x^2+x+1 не разлагается на линейные множители над полем вещественных чисел.

Шаг 2: Разложим дробь на простые дроби. Поскольку знаменатель не разлагается на линейные множители, мы не можем применить обычный метод разложения на частные дроби. Однако, мы можем использовать метод частичных дробей с комплексными корнями.

Представим исходную дробь в виде суммы двух дробей:

(x+2)/(x^2+x+1) = A/(x - α) + B/(x - β)

где α и β - комплексные корни x^2+x+1.

Шаг 3: Найдем значения A и B. Умножим исходное уравнение на знаменатель (x^2+x+1), чтобы избавиться от дробей в знаменателе:

(x+2) = A(x - β) + B(x - α)

Раскроем скобки:

x + 2 = Ax - Aβ + Bx - Bα

Сгруппируем переменные:

(A + B)x + (-Aβ - Bα) = x + 2

Поскольку левая и правая части уравнения должны быть равными для любых значений x, мы можем сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях x:

(A + B) = 1 (коэффициент при x) -Aβ - Bα = 2 (свободный член)

Шаг 4: Найдем значения A и B из системы уравнений. Для этого мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или методом комбинирования.

Из первого уравнения получаем A = 1 - B.

Подставим A = 1 - B во второе уравнение:

-β(1 - B) - Bα = 2

-β + βB - Bα = 2

B(-β - α) = 2 + β

B = (2 + β)/(-β - α)

Теперь подставим значение B в первое уравнение:

A = 1 - B = 1 - (2 + β)/(-β - α)

Шаг 5: Подставим найденные значения A и B в исходное уравнение:

(x+2)/(x^2+x+1) = A/(x - α) + B/(x - β)

(x+2)/(x^2+x+1) = (1 - (2 + β)/(-β - α))/(x - α) + (2 + β)/(-β - α)/(x - β)

Шаг 6: Теперь мы можем интегрировать обе дроби по отдельности:

∫(1 - (2 + β)/(-β - α))/(x - α) dx + ∫(2 + β)/(-β - α)/(x - β) dx

Интеграл первой дроби можно легко вычислить, он равен ln|x - α|:

∫(1 - (2 + β)/(-β - α))/(x - α) dx = ln|x - α|

Интеграл второй дроби также можно вычислить, он равен ln|x - β|:

∫(2 + β)/(-β - α)/(x - β) dx = ln|x - β|

Шаг 7: Собираем все вместе:

∫(x+2)/(x^2+x+1)dx = ln|x - α| + ln|x - β| + C

где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, неопределенный интеграл ∫(x+2)/(x^2+x+1)dx равен ln|x - α| + ln|x - β| + C, где α и β - комплексные корни x^2+x+1.