Question

Помогите решить диф. уравнение y' + y*tg(x) = 1/cos(x), y(0)=1

Answer 1

Имеем линейное дифференциальное уравнение. Решение будем искать в виде произведения двух функций $y=u(x)\times v(x)$, тогда по правилу дифференцирования произведения: $y'=u'v+uv'.$
Подставляя замену в исходное уравнение, получим
.                                           $u'v+uv'+uv\,tg x= \dfrac{1}{\cos x} \\ u'v+u(v'+vtg x)= \dfrac{1}{\cos x}$
Функцию v подбираем так, чтобы выражение в скобках равнялось 0. То есть, имеет место система
.                                                  $\displaystyle \left \{ {{v'+v\, tgx=0} \atop {u'v= \frac{1}{\cos x} }} \right.$
Первое дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:
.      $\displaystyle v'=-vtgx\Rightarrow\,\, \frac{dv}{dx} =-v\, tgx\Rightarrow \int\limits{ \frac{dv}{v} } = \int\limits -tg xdx\Rightarrow\,\, \ln |v|=\ln|\cos x|$
 откуда     $v=\cos x$
Подставим найденное значение $v$ во второе уравнение системы:
.                    $\displaystyle \frac{du}{dx}= \frac{1}{\cos^2 x}\Rightarrow\,\, \int\limits du= \int\limits \frac{dx}{\cos^2 x}\Rightarrow\,\, u=tgx+C$
Возвращаемся к обратной замене.
.                   $y=(tg x+C)\cos x\Rightarrow\,\,\, y=\sin x+ C\cos x$
Найдем теперь частное решение задачи Коши, используя начальное условие $y(0)=1$, найдем значение константы интегрирования:
.                    $1=\sin0+C\Rightarrow\,\,\, C=1.$
Таким образом, частное решение заданного уравнения будет иметь вид:
.                                           $\boxed{y=\sin x+\cos x}$

Ответ: $y=\sin x+\cos x.$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным уравнением с постоянными коэффициентами. Его можно решить методом вариации постоянных. Давайте выполним несколько шагов для решения этого уравнения.

Исходное уравнение:

\[y' + y \tan(x) = \frac{1}{\cos(x)}, \quad y(0) = 1.\]

1. Начнем с записи соответствующего однородного уравнения:

\[y' + y \tan(x) = 0.\]

Это линейное однородное уравнение, и его можно решить методом разделения переменных:

\[\frac{dy}{y} = -\tan(x)dx.\]

2. Проинтегрируем обе стороны:

\[\int\frac{dy}{y} = -\int\tan(x)dx.\]

Это приведет к:

\[\ln|y| = \ln|\cos(x)| + C_1,\]

где \(C_1\) - произвольная постоянная.

3. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения с помощью метода вариации постоянных. Пусть \(y_p\) - частное решение. Подставим в неоднородное уравнение:

\[y_p' + y_p \tan(x) = \frac{1}{\cos(x)}.\]

4. Предположим, что \(y_p\) имеет вид \(y_p = A(x)\cos(x) + B(x)\sin(x)\), где \(A(x)\) и \(B(x)\) - функции, которые нужно найти. Тогда

\[y_p' = A'(x)\cos(x) + B'(x)\sin(x) - A(x)\sin(x) + B(x)\cos(x).\]

5. Подставим это обратно в неоднородное уравнение и приравняем коэффициенты при соответствующих функциях к коэффициентам в правой части:

\[A'(x)\cos(x) + B'(x)\sin(x) - A(x)\sin(x) + B(x)\cos(x) + (A(x)\cos(x) + B(x)\sin(x))\tan(x) = \frac{1}{\cos(x)}.\]

6. Сгруппируем слагаемые:

\[A'(x)\cos(x) + B'(x)\sin(x) + A(x)(\cos(x) - \sin(x)\tan(x)) + B(x)(\sin(x) + \cos(x)\tan(x)) = \frac{1}{\cos(x)}.\]

7. Сравниваем коэффициенты при соответствующих функциях:

\[A'(x) + A(x) = 1, \quad B'(x) + B(x) = 0.\]

8. Решаем систему уравнений:

\[A'(x) + A(x) = 1, \quad B'(x) + B(x) = 0.\]

Решениями будут:

\[A(x) = \frac{1}{2}, \quad B(x) = C_2,\]

где \(C_2\) - произвольная постоянная.

Таким образом, частное решение \(y_p\) имеет вид:

\[y_p = \frac{1}{2}\cos(x) + C_2\sin(x).\]

9. Теперь общее решение неоднородного уравнения:

\[y(x) = y_h + y_p,\]

где \(y_h\) - общее решение соответствующего однородного уравнения, а \(y_p\) - частное решение неоднородного уравнения.

\[y(x) = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) + \frac{1}{2}\cos(x) + C_2\sin(x).\]

10. Используем начальное условие \(y(0) = 1\) для нахождения констант:

\[y(0) = C_1 + 0 + \frac{1}{2} + 0 = 1.\]

Отсюда следует, что \(C_1 = \frac{1}{2}\).

Таким образом, окончательное решение дифференциального уравнения:

\[y(x) = \frac{1}{2}\cos(x) + \frac{1}{2}\sin(x).\]