Question

Исследуйте следующие функции и постройте их графики:1) y = 2x³-3x²-12x-12) y = x³-6x²+16

Answer 1

1)
   y = 2x³ -3x² -12x - 1
   x = 0         y = -1
   x = 3,3       y ≈ 0
   х = -0,08    y ≈ 0
   х = -1,7      y ≈ 0
y' = (2x³ -3x² -12x - 1)' = 6x² - 6x -12
y' = 0
6x² - 6x -12 = 0
x² - x - 2 = 0   D = 1 + 8 = 9    x₁ = -1    x₂ = 2
y' = (x +1)(x - 2)
            +         -1           _          2               +                   y'      
 ---------------------|--------------------|------------------------------->
y  возрастает x∈]-∞;-1[
y  убывает  x∈] -1; 2 [
y  возрастает x∈] 2; ∞ [
y(-1) = 2*(-1)³ - 3*(-1)² - 12*(-1)  = 6
y(2) = 2*2³ - 3*2² - 12*2 - 1 = −21
2)
   y = x³ - 6x² + 16
   x = 0         y = 16
   x = -1,5       y ≈ 0
   х = 2           y = 0
   х = 5,5       y ≈ 0
y' = (x³ - 6x² + 16)' = 3x² - 12x
y' = 0
3x² - 12x = 0
x² - 4x = 0
x(x - 4) = 0       x₁ =0    x₂ = 4
y' = x(x - 4)
            +          0           _          4               +                   y'      
 ---------------------|--------------------|------------------------------->
y  возрастает x∈] -∞; 0 [
y  убывает  x∈] 0; 4 [
y  возрастает x∈] 4; ∞ [
y(0) = 16
y(2) =  4³ - 6*4² + 16 = −16
графики ниже

Answer 2

Для исследования функций и построения их графиков необходимо выполнить следующие шаги:

1) Найти точки пересечения с осями координат. Для этого приравняем каждую функцию к нулю и решим полученные уравнения.

a) Для функции y = 2x³ - 3x² - 12x - 12: 2x³ - 3x² - 12x - 12 = 0

Это уравнение не может быть решено аналитически, поэтому воспользуемся численными методами. Например, методом Ньютона или методом половинного деления, чтобы найти приближенные значения корней.

b) Для функции y = x³ - 6x² + 16: x³ - 6x² + 16 = 0

Это уравнение также не может быть решено аналитически. Поэтому воспользуемся численными методами, чтобы найти приближенные значения корней.

2) Найти точки экстремума функций. Для этого найдем производные функций и приравняем их к нулю.

a) Для функции y = 2x³ - 3x² - 12x - 12: y' = 6x² - 6x - 12

6x² - 6x - 12 = 0

Решив это уравнение, найдем значения x, в которых функция имеет экстремумы.

b) Для функции y = x³ - 6x² + 16: y' = 3x² - 12x

3x² - 12x = 0

Решив это уравнение, найдем значения x, в которых функция имеет экстремумы.

3) Исследовать поведение функций в окрестности найденных точек пересечения и экстремумов.

Для этого можно построить таблицу знаков производных функций и анализировать поведение функций в каждом интервале.

4) Построить графики функций.

Построим графики функций y = 2x³ - 3x² - 12x - 12 и y = x³ - 6x² + 16, используя найденные значения точек пересечения и экстремумов, а также информацию о поведении функций в окрестности этих точек.