Question

Используя определение производной найдите производную функций f(x) =2x^+4x в точке x0=-2

Answer 1

F'(x)=4x+4
f'(x0)=-2*4+4=-4

Answer 2

Определение производной функции

Прежде чем мы начнем вычислять производную функции, давайте вспомним определение производной. Производная функции описывает ее скорость изменения по отношению к аргументу (обычно обозначаемому как x). Формально, производная функции f(x) в точке x = x0 определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

f'(x0) = lim(h -> 0) [f(x0 + h) - f(x0)] / h

где f'(x0) обозначает производную функции f(x) в точке x = x0.

Нахождение производной функции f(x) = 2x^2 + 4x в точке x0 = -2

Теперь мы можем использовать это определение производной, чтобы найти производную функции f(x) = 2x^2 + 4x в точке x0 = -2.

Сначала найдем приращение функции и приращение аргумента:

f(x0 + h) - f(x0) = [2(x0 + h)^2 + 4(x0 + h)] - [2x0^2 + 4x0]

= [2(-2 + h)^2 + 4(-2 + h)] - [2(-2)^2 + 4(-2)]

= [2(4 - 4h + h^2) - 8 + 4h] - [8 - 8]

= 8 - 8h + 2h^2 - 8 + 4h

= 2h^2 - 4h

Затем подставим это приращение в определение производной и упростим:

f'(x0) = lim(h -> 0) [2h^2 - 4h] / h

= lim(h -> 0) (2h^2 - 4h) / h

= lim(h -> 0) 2h - 4

= 2 * 0 - 4

= -4

Ответ

Таким образом, производная функции f(x) = 2x^2 + 4x в точке x0 = -2 равна -4.