Question

Записаны подряд натуральные числа от 1 до 999.сколько раз в записи всех чисел встречается цифра 9?

Answer 1

В разряде сотен цифра 9 встречается у чисел 900, 901, ..., 999. Всего таких чисел 100.
В разряде десятков цифра 9 встречается у чисел 90, ..., 99, 190, 191, 199, ..., 990, 991, 999. То есть в каждой из 10 сотен существует 10 чисел, которые содержат 9 в разряде десятков. Всего таких чисел 10*10=100. 
В разряде единиц цифра 9 встречается у одного числа из десяти - у одного от 1 до 10, у одного от 11 до 20, и так далее, то есть, один раз на каждый десяток. Всего десятков 100 (в последний десяток - 991, 992 и так далее можно добавить число 1000, в нём нет цифры 9, поэтому результат не изменится), значит, чисел с девяткой в разряде единиц также будет 100.

Значит, всего в записи чисел от 1 до 999 содержится 100+100+100=300 девяток.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем разбить все числа на три группы: числа, в которых нет цифры 9, числа, в которых цифра 9 встречается один раз, и числа, в которых цифра 9 встречается два раза.

1. Числа, в которых нет цифры 9: В данном случае рассмотрим числа от 1 до 99. В этом диапазоне цифра 9 не появляется ни в одном числе, так как максимальное число в этом диапазоне - 99. Таким образом, в этой группе 99 чисел.

2. Числа, в которых цифра 9 встречается один раз: Рассмотрим числа от 100 до 999, в которых цифра 9 встречается один раз. Чтобы найти количество таких чисел, мы можем рассмотреть все возможные варианты расположения цифры 9 в числе. Цифра 9 может быть на первом месте (9XX), на втором месте (X9X) или на третьем месте (XX9). Здесь X обозначает любую цифру от 0 до 8. Таким образом, для каждого из трех вариантов мы имеем 9 возможных цифр на оставшихся двух позициях (от 0 до 8). Получаем, что для каждого варианта расположения цифры 9 есть 9 * 9 = 81 возможное число. И так как у нас три варианта расположения цифры 9, то общее количество чисел в этой группе будет 81 * 3 = 243.

3. Числа, в которых цифра 9 встречается два раза: Теперь рассмотрим числа от 100 до 999, в которых цифра 9 встречается два раза. Такие числа будут иметь вид 9XY, X9Y или XY9, где X и Y обозначают любые цифры от 0 до 8. Как и в предыдущем случае, для каждого из трех вариантов расположения цифры 9 есть 9 возможных цифр на оставшейся позиции. Таким образом, общее количество чисел в этой группе также будет 9 * 3 = 27.

Итак, общее количество чисел, в которых цифра 9 встречается, будет равно сумме чисел из каждой группы: 99 + 243 + 27 = 369.

Таким образом, цифра 9 встречается в записи всех чисел от 1 до 999 369 раз.