Question

Решить ЧАСТНОЕ дифференциальное уравнение: y''-4y'+5y=0, при x=0, y=1, y'=-1 Общее уже нашла: y=(C1sinX+C2cosX)e^2X Помогите пожалуйста :(

Answer 1

Теперь находим производную от общего решения:

$y'=[(C_1sinx+C_2cosx)e^{2x}]'=(C_1sinx+C_2cosx)'*e^{2x}+ \\ \\ +(e^{2x})'*(C_1sinx+C_2cosx)=(C_1cosx-C_2sinx)*e^{2x}+2e^{2x}* \\ \\ *(C_1sinx+C_2cosx)$

составляем систему с общим решением и его производной:

$\left\{\begin{matrix} y=(C_1sinx+C_2cosx)e^{2x} \\ y'=(C_1cosx-C_2sinx)*e^{2x}+2e^{2x}* (C_1sinx+C_2cosx) \end{matrix}\right.$

Подставляем x=0, y=1, y'=-1

$\left\{\begin{matrix} 1=(C_1sin0+C_2cos0)e^{2*0} \\ -1=(C_1cos0-C_2sin0)*e^{2*0}+2e^{2*0}* (C_1sin0+C_2cos0) \end{matrix}\right. \\ \\ \left\{\begin{matrix} 1=C_2 \\ -1=C_1+2C_2 \end{matrix}\right. \\ \\ -1=C_1+2 \\ \\ C_1=-3 \\ C_2=1 \\ \\ \\ OTBET: \ y=(cosx-3sinx)e^{2x}$

Answer 2

Чтобы решить данное частное дифференциальное уравнение, мы будем использовать метод характеристического уравнения. Давайте пройдемся по шагам.

Шаг 1: Находим характеристическое уравнение

В данном случае, характеристическое уравнение будет иметь вид: r^2 - 4r + 5 = 0

Шаг 2: Решаем характеристическое уравнение

Для этого можно использовать квадратное уравнение или квадратное уравнение с комплексными корнями. В данном случае, характеристическое уравнение имеет комплексные корни, так как дискриминант отрицательный: r = (4 ± √(-4))/2 = 2 ± i

Шаг 3: Находим общее решение

Общее решение такого дифференциального уравнения имеет вид: y(x) = e^(2x)(C1sin(x) + C2cos(x))

Шаг 4: Находим конкретное решение

Для этого нам нужно использовать начальные условия, которые даны в задаче. При x = 0, y = 1 и y' = -1. Подставляем эти значения в общее решение и решаем систему уравнений:

1 = e^0(C1sin(0) + C2cos(0)) = C2 -1 = e^0(2C1cos(0) - 2C2sin(0)) = 2C1 C2 = 1 2C1 = -1 C1 = -1/2

Шаг 5: Получаем конкретное решение

Таким образом, конкретное решение данного дифференциального уравнения будет иметь вид: y(x) = e^(2