Question

Решить уравнение (sinx+cosx)^2 – 3(sinx+cosx)+2=0. В ответ записать КОличество корней в промежутке [0; 2pi].

Answer 1

Sin²x+2sinxcosx+cos²x-3sin²x-6sinxcosx-3cos²x+2=0
-4sinxcosx=0
sinx=0;  cosx=0
x=πn; x=π/2+πn
Ответ:4.

Answer 2

Уравнение

Дано уравнение: (sinx + cosx)^2 – 3(sinx + cosx) + 2 = 0.

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать замену переменной. Обозначим y = sinx + cosx. Тогда уравнение примет вид: y^2 – 3y + 2 = 0.

Решение уравнения

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем факторизовать его или использовать квадратное уравнение.

Факторизуя уравнение y^2 – 3y + 2 = 0, мы получаем: (y – 1)(y – 2) = 0.

Таким образом, у нас есть два возможных значения для y: y = 1 и y = 2.

Теперь, используя замену переменной, мы можем найти значения x. Для этого рассмотрим два случая:

Случай 1: y = 1

Подставляя y = 1 в уравнение y = sinx + cosx, мы получаем: 1 = sinx + cosx.

Используя тригонометрическую идентичность sin^2x + cos^2x = 1, мы можем переписать уравнение в виде: 1 = sinx + cosx = sqrt(2) * (sinx * cos(pi/4) + cosx * sin(pi/4)).

Таким образом, у нас есть два возможных значения для x:

1. x = arcsin(0) = 0. 2. x = arccos(sqrt(2)/2) = pi/4.

Случай 2: y = 2

Подставляя y = 2 в уравнение y = sinx + cosx, мы получаем: 2 = sinx + cosx.

Используя тригонометрическую идентичность sin^2x + cos^2x = 1, мы можем переписать уравнение в виде: 2 = sinx + cosx = sqrt(2) * (sinx * cos(pi/4) + cosx * sin(pi/4)).

Таким образом, у нас есть два возможных значения для x:

1. x = arcsin(0.5) = pi/6. 2. x = arccos(sqrt(3)/2) = pi/6.

Количество корней в промежутке [0; 2pi]

В промежутке [0; 2pi] у нас есть следующие значения x:

1. x = 0. 2. x = pi/4. 3. x = pi/6.

Таким образом, уравнение имеет три корня в промежутке [0; 2pi].

Ответ

Уравнение (sinx + cosx)^2 – 3(sinx + cosx) + 2 = 0 имеет три корня в промежутке [0; 2pi]. Корни уравнения: x = 0, x = pi/4, x = pi/6.